Luyện Tập Bài Tập Toán Học
Rèn luyện tư duy trắc nghiệm và tự luận với lời giải chi tiết và công thức Toán hiển thị chuẩn KaTeX.
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.
- Câu a) là mệnh đề: Đây là khẳng định có tính đúng hoặc sai rõ ràng.
- Câu b) không phải là mệnh đề: Đây là câu nghi vấn (câu hỏi).
- Câu c) không phải là mệnh đề: Đây là câu cầu khiến (mệnh lệnh, nội quy).
- Câu d) không phải là mệnh đề: Đây là khẳng định về sự việc tương lai chưa xảy ra, không xác định được tính đúng sai tại thời điểm nói.
a) $\pi > \dfrac{10}{3}$;
b) Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm;
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2 022 là hợp số.
- a) Sai vì $\pi \approx 3,14159 < \dfrac{10}{3} \approx 3,3333$.
- b) Đúng vì $3x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{7}{3}$ (có nghiệm thực duy nhất).
- c) Đúng vì số 0 có tính chất $0 + 0 = 0$.
- d) Đúng vì 2 022 là số chẵn chia hết cho 2 và tổng chữ số bằng 6 chia hết cho 3 nên 2 022 có nhiều hơn 2 ước số dương.
P: "Tam giác ABC là tam giác vuông";
Q: "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.
- Phát biểu: "Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".
- Tính đúng sai: Mệnh đề tương đương này đúng.
Chứng minh:
+ Chiều thuận ($P \Rightarrow Q$): Nếu tam giác ABC vuông tại A thì $\widehat{A} = 90^\circ = \widehat{B} + \widehat{C}$.
+ Chiều đảo ($Q \Rightarrow P$): Nếu $\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$ thì $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 2\widehat{A} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} = 90^\circ$ (vuông tại A).
P: "Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5";
Q: "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau".
- Mệnh đề đảo của P: "Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5". Mệnh đề đảo này sai (ví dụ số 10, 20 chia hết cho 5 nhưng tận cùng bằng 0).
- Mệnh đề đảo của Q: "Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật". Mệnh đề đảo này sai (ví dụ hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không là hình chữ nhật).
a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.
- a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu $a^2 < b^2$ thì $0 < a < b$".
- b) Mệnh đề đảo ($Q \Rightarrow P$): "Nếu $0 < a < b$ thì $a^2 < b^2$".
- c) Tính đúng sai:
+ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề sai (chẳng hạn chọn $a = -2, b = 3 \Rightarrow a^2 = 4 < b^2 = 9$ nhưng $a < 0$).
+ Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề đúng (với $0 < a < b$, nhân hai vế với số dương ta được $a^2 < ab < b^2 \Rightarrow a^2 < b^2$).
Q: "$\exists n \in \mathbb{N}, n \text{ chia hết cho } n + 1$".
- Tính đúng sai: Mệnh đề Q là mệnh đề đúng (với số tự nhiên $n = 0$, ta có $n + 1 = 1$, và 0 chia hết cho 1: $0 = 0 \cdot 1$).
- Mệnh đề phủ định $\overline{Q}$: "$\forall n \in \mathbb{N}, n \text{ không chia hết cho } n + 1$".
P: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";
Q: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 0".
- Mệnh đề P: "$\forall n \in \mathbb{N}, n^2 \ge n$".
- Mệnh đề Q: "$\exists x \in \mathbb{R}, x + x = 0$" (hoặc "$\exists x \in \mathbb{R}, 2x = 0$").
Gọi $X$ là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam trên đất liền. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ và biểu diễn tập $X$ bằng biểu đồ Ven.
Bước 1: Xác định các phần tử của tập hợp $X$
Trên đất liền, các quốc gia có chung đường biên giới tiếp giáp với Việt Nam gồm có 3 nước: Trung Quốc (ở phía Bắc), Lào và Campuchia (ở phía Tây).
Do đó, liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ ta được:
$$X = \{\text{Trung Quốc; Lào; Campuchia}\}$$
Số phần tử của tập hợp là $n(X) = 3$.
Bước 2: Biểu diễn tập hợp $X$ bằng biểu đồ Ven
Ta vẽ một đường cong tròn/elip khép kín đại diện cho tập hợp $X$, bên trong ghi tên 3 phần tử:
Kí hiệu $E$ là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.
a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$.
b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$.
c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp $E$. Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?
a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$:
Các quốc gia nằm trong khu vực Đông Nam Á, ví dụ như Việt Nam và Thái Lan. Ta viết:
$$\text{Việt Nam} \in E, \quad \text{Thái Lan} \in E.$$
b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$:
Các quốc gia không thuộc khu vực Đông Nam Á, ví dụ như Nhật Bản (thuộc Đông Á) và Pháp (thuộc châu Âu). Ta viết:
$$\text{Nhật Bản} \notin E, \quad \text{Pháp} \notin E.$$
c) Liệt kê các phần tử của tập hợp $E$:
Khu vực Đông Nam Á gồm có 11 quốc gia. Liệt kê các phần tử của $E$:
$$E = \{\text{Việt Nam; Lào; Campuchia; Thái Lan; Myanmar; Malaysia; Singapore; Indonesia; Brunei; Philippines; Đông Timor}\}$$
Tập hợp $E$ có 11 phần tử, tức là: $n(E) = 11$.
Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:
$$A = \{0; 4; 8; 12; 16\}$$
Phân tích quy luật của các phần tử:
Các phần tử của tập hợp $A$ gồm: $0 = 4 \times 0$, $4 = 4 \times 1$, $8 = 4 \times 2$, $12 = 4 \times 3$, $16 = 4 \times 4$.
Ta nhận thấy đây là các số tự nhiên chia hết cho 4 và không vượt quá 16 (nhỏ hơn hoặc bằng 16).
Do đó, có thể mô tả tập hợp $A$ bằng các cách sau:
- Cách 1: $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ chia hết cho } 4 \text{ và } x \le 16\}$.
- Cách 2: $A = \{4k \mid k \in \mathbb{N}, \, 0 \le k \le 4\}$.
Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?
$$A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 6 = 0\}; \qquad B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 6 = 0\}$$
Xét phương trình:
$$x^2 - 6 = 0 \iff x^2 = 6 \iff x = \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{6}.$$Xét tập hợp $A$:
Vì $\sqrt{6}$ và $-\sqrt{6}$ đều là các số thực ($x \in \mathbb{R}$), nên cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện của tập $A$.
Do đó: $A = \{-\sqrt{6}; \sqrt{6}\}$. Tập hợp $A$ có 2 phần tử nên $A \ne \emptyset$.
Xét tập hợp $B$:
Điều kiện yêu cầu $x \in \mathbb{Z}$ (số nguyên). Tuy nhiên, $\sqrt{6} \approx 2{,}449...$ và $-\sqrt{6}$ là các số vô tỉ, không phải là số nguyên ($\sqrt{6} \notin \mathbb{Z}, -\sqrt{6} \notin \mathbb{Z}$).
Do đó không có số nguyên nào thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy tập hợp $B$ là tập rỗng: $B = \emptyset$.
Cho $X = \{a; b\}$. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.
a) $a \subset X$; b) $\{a\} \subset X$; c) $\emptyset \in X$.
a) Cách viết "$a \subset X$" là SAI.
Giải thích: $a$ là một phần tử của tập hợp $X$. Quan hệ giữa một phần tử và một tập hợp phải dùng kí hiệu thuộc "$\in$", tức là cách viết đúng phải là $a \in X$. Kí hiệu tập con "$\subset$" chỉ dùng để biểu thị quan hệ giữa hai tập hợp với nhau.
b) Cách viết "$\{a\} \subset X$" là ĐÚNG.
Giải thích: $\{a\}$ là tập hợp gồm một phần tử duy nhất là $a$. Vì phần tử $a$ này thuộc $X$ nên $\{a\}$ là tập con của $X$.
c) Cách viết "$\emptyset \in X$" là SAI.
Giải thích: $\emptyset$ là tập hợp rỗng. Mặc dù $\emptyset$ là tập con của mọi tập hợp ($\emptyset \subset X$ là đúng), nhưng tập hợp $X = \{a; b\}$ chỉ chứa hai phần tử là $a$ và $b$, không chứa phần tử nào là tập rỗng $\emptyset$. Do đó $\emptyset \notin X$.
Cho $A = \{2; 5\}$, $B = \{5; x\}$, $C = \{2; y\}$. Tìm $x$ và $y$ để $A = B = C$.
Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau, hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các phần tử.
1) Để $A = B$:
Ta có $A = \{2; 5\}$ và $B = \{5; x\}$.
Tập $A$ có hai phần tử là 2 và 5. Tập $B$ đã có phần tử 5, do đó để $B$ có đúng các phần tử như $A$ thì phần tử còn lại phải bằng 2, tức là:
$$x = 2$$
2) Để $A = C$:
Ta có $A = \{2; 5\}$ và $C = \{2; y\}$.
Tập $C$ đã có phần tử 2, do đó để $C$ có đúng các phần tử như $A$ thì phần tử còn lại phải bằng 5, tức là:
$$y = 5$$
Kết luận: Vậy $x = 2$ và $y = 5$.
Cho hai tập hợp:
$$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x < 4\}, \qquad B = \{x \in \mathbb{Z} \mid (5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0\}$$
a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp $A$ và $B$.
b) Hãy xác định các tập hợp $A \cap B$, $A \cup B$ và $A \setminus B$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a) $(-4; 1] \cap [0; 3)$;
b) $(0; 2] \cup (-3; 1]$;
c) $(-2; 1] \cap (1; +\infty)$;
d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Lời giải chi tiết:
Hệ này gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $1 \cdot x + 0 \cdot y < 0$ và $0 \cdot x + 1 \cdot y \ge 0$.
⇒ Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình đầu tiên $x + y^2 < 0$ chứa ẩn $y$ với số mũ $2$ (bậc hai đối với $y$), không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
⇒ Đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình $x + y + z < 0$ có ba ẩn số là $x, y, z$.
⇒ Đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (mà là ba ẩn).
Ta có $3^2 = 9$ và $4^2 = 16$. Khi đó hệ viết lại thành: $$\begin{cases} -2x + y < 9 \\ 16x + 3y < 1 \end{cases}$$ Cả hai bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$.
⇒ Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu a: $\begin{cases} y - x < -1 \iff x - y > 1 \\ x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$
- Bờ $d: y - x = -1 \iff x - y = 1$: Đi qua hai điểm $(1; 0)$ và $(0; -1)$. Vẽ bằng nét đứt. Thử $O(0; 0)$: $0 - 0 = 0 \not< -1$ (sai), vậy miền nghiệm không chứa gốc toạ độ $O$ (nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng $d$).
- $x > 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (bỏ trục $Oy$, vẽ bằng nét đứt).
- $y < 0$: Nửa mặt phẳng phía dưới trục $Ox$ (bỏ trục $Ox$, vẽ bằng nét đứt).
Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch, giới hạn bởi đường thẳng $x - y = 1$, trục $Ox$ và trục $Oy$ (không chứa các đường biên).
Câu b: $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4 \end{cases}$
- $x \ge 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, kể cả trục $Oy$ (nét liền).
- $y \ge 0$: Nửa mặt phẳng bên trên trục $Ox$, kể cả trục $Ox$ (nét liền).
- $2x + y \le 4$: Đường thẳng biên $d: 2x + y = 4$ đi qua $A(2; 0)$ và $B(0; 4)$ vẽ bằng nét liền. Thử $O(0; 0)$: $2(0) + 0 = 0 \le 4$ (đúng), miền nghiệm chứa gốc $O$.
Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền tam giác $OAB$ (kể cả ba cạnh của tam giác) với $O(0; 0), A(2; 0), B(0; 4)$.
Câu c: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x - y < 0 \end{cases}$
- $x \ge 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, kể cả trục $Oy$ (nét liền).
- $x + y > 5$: Đường thẳng $d_1: x + y = 5$ qua $(5; 0)$ và $(0; 5)$ vẽ bằng nét đứt. Thử $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 \not> 5$ (sai), vậy miền nghiệm không chứa gốc $O$.
- $x - y < 0 \iff y > x$: Đường thẳng $d_2: y = x$ (đường phân giác góc phần tư I) vẽ bằng nét đứt. Thử điểm $(0; 1)$: $0 - 1 = -1 < 0$ (đúng), miền nghiệm chứa điểm $(0; 1)$ (nửa mặt phẳng phía trên đường $y = x$).
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 0 \end{cases} \implies M(2{,}5; 2{,}5)$.
Miền nghiệm là góc mở vô hạn đỉnh $M(2{,}5; 2{,}5)$, giới hạn bởi tia trên của $d_1$ và tia trên của $d_2$ (không kể hai đường biên).
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Câu a:
Ta tính các giá trị lượng giác có trong biểu thức:
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;
• $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
• $\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
• $\cos 180^\circ = -1$;
• $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Thay vào biểu thức: $$\begin{aligned} A &= \left[2 \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3 \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right] \cdot \left[-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \\ &= \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(-1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \\ &= -\left(1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \\ &= -\frac{3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3 - \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}{3} \\ &= -\frac{6 + 4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}{3} = -2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}. \end{aligned}$$
Câu b:
Ta có:
• $\sin 90^\circ = 1 \implies \sin^2 90^\circ = 1^2 = 1$;
• $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \implies \cos^2 120^\circ = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$;
• $\cos 0^\circ = 1 \implies \cos^2 0^\circ = 1^2 = 1$;
• $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \implies \tan^2 60^\circ = (\sqrt{3})^2 = 3$;
• $\cot 135^\circ = -\cot 45^\circ = -1 \implies \cot^2 135^\circ = (-1)^2 = 1$.
Thay vào biểu thức: $$B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.$$
Câu c:
Ta có:
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$;
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.
Thay vào biểu thức: $$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.$$
• $\sin(180^\circ - x) = \sin x$;
• $\cos(180^\circ - x) = -\cos x \iff \cos(180^\circ - x) + \cos x = 0$;
• $\tan(180^\circ - x) = -\tan x$; $\cot(180^\circ - x) = -\cot x$.
Câu a:
Ta có:
• $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$;
• $\cos 164^\circ = \cos(180^\circ - 16^\circ) = -\cos 16^\circ \implies \cos 16^\circ + \cos 164^\circ = 0$.
Thay vào biểu thức $A$: $$A = \sin 80^\circ + \sin 80^\circ + [\cos 16^\circ + (-\cos 16^\circ)] = 2\sin 80^\circ.$$
Câu b:
Áp dụng công thức hai góc bù nhau cho góc $\alpha$:
• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$;
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$;
• $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$.
Biểu thức $B$ trở thành: $$\begin{aligned} B &= 2\sin \alpha \cdot \cot \alpha - (-\cos \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot (-\cot \alpha) \\ &= 2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cdot (\tan \alpha \cdot \cot \alpha) \end{aligned}$$
Vì $\sin \alpha \ne 0$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, ta được: $$B = 2\cos \alpha - \cos \alpha \cdot 1 = \cos \alpha.$$
Chứng minh câu a: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
Trên nửa đường tròn đơn vị tâm $O(0; 0)$ bán kính $R = 1$, lấy điểm $M(x_0; y_0)$ sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$.
Theo định nghĩa: $\cos \alpha = x_0$ và $\sin \alpha = y_0$.
Vì điểm $M$ luôn nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$, khoảng cách từ $O$ đến $M$ bằng $1$:
$$OM^2 = x_0^2 + y_0^2 = 1^2 = 1$$
⇒ Do đó: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ (điều phải chứng minh).
Chứng minh câu b: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \ne 90^\circ$)
Với $\alpha \ne 90^\circ$, ta có $\cos \alpha \ne 0$ và $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Biến đổi vế trái: $$1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$
Áp dụng hệ thức đã chứng minh ở câu a ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$), ta được: $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \text{(điều phải chứng minh)}.$$
Chứng minh câu c: $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)
Với $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, ta có $\sin \alpha > 0$ (khác $0$) và $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Biến đổi vế trái: $$1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$$
Thay $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta được: $$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad \text{(điều phải chứng minh)}.$$
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
• Tính $\cos A$ bằng hệ quả định lí côsin: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
• Tính diện tích $S$ bằng công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p = \dfrac{a+b+c}{2}$.
• Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \dfrac{S}{p}$.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng hệ quả định lí côsin: $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} = 0{,}6625.$$
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2} = 9{,}5.$$
Áp dụng công thức Heron: $$\begin{aligned} S &= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ &= \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \left(\frac{19}{2} - 6\right) \cdot \left(\frac{19}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{19}{2} - 8\right)} \\ &= \sqrt{\frac{19}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3591}{16}} = \frac{3\sqrt{399}}{4} \approx 14{,}98. \end{aligned}$$
Từ công thức $S = pr$, suy ra: $$r = \frac{S}{p} = \frac{\dfrac{3\sqrt{399}}{4}}{\dfrac{19}{2}} = \frac{3\sqrt{399}}{38} \approx 1{,}58.$$
Lời giải chi tiết:
1. Tính số đo góc $\widehat{C}$: $$\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 65^\circ.$$
2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$:
Theo định lí sin:
$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \implies R = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07.$$
3. Tính độ dài cạnh $b$ và $c$:
• Cạnh $b$:
$$b = 2R \sin B = 10\sqrt{2} \cdot \sin 70^\circ \approx 14{,}142 \cdot 0{,}9397 \approx \mathbf{13{,}29}.$$
• Cạnh $c$:
$$c = 2R \sin C = 10\sqrt{2} \cdot \sin 65^\circ \approx 14{,}142 \cdot 0{,}9063 \approx \mathbf{12{,}82}.$$
• Tìm góc $\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B})$.
• Tìm các cạnh $a, b$ bằng định lí sin: $a = \dfrac{c \sin A}{\sin C}, \ b = \dfrac{c \sin B}{\sin C}$.
• Tính diện tích: $S = \dfrac{1}{2}ab \sin C$ hoặc $S = \dfrac{1}{2}ac \sin B$.
Lời giải chi tiết:
1. Tìm góc $\widehat{C}$: $$\widehat{C} = 180^\circ - (15^\circ + 130^\circ) = 35^\circ.$$
2. Tìm độ dài các cạnh $a$ và $b$:
Áp dụng định lí sin:
$$\frac{a}{\sin 15^\circ} = \frac{b}{\sin 130^\circ} = \frac{6}{\sin 35^\circ}$$
• Cạnh $a = \frac{6 \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0{,}2588}{0{,}5736} \approx \mathbf{2{,}71}$.
• Cạnh $b = \frac{6 \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{6 \sin 50^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6 \cdot 0{,}7660}{0{,}5736} \approx \mathbf{8{,}01}$.
3. Tính diện tích tam giác $ABC$: $$S = \frac{1}{2} a b \sin C \approx \frac{1}{2} \cdot 2{,}71 \cdot 8{,}01 \cdot \sin 35^\circ \approx \mathbf{6{,}23}.$$
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Lời giải chi tiết:
Theo quy ước SGK trang 48, vectơ-không $\vec{0}$ cùng hướng (và do đó cùng phương) với mọi vectơ. Vì vậy mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$.
Hai vectơ chỉ được xét cùng hướng hay ngược hướng khi chúng cùng phương. Nếu $\vec{b}$ và $\vec{a}$ không cùng phương (giá của chúng cắt nhau) thì $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ nhưng cũng không ngược hướng với $\vec{a}$.
Vì $\vec{c} \ne \vec{0}$, giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$, và giá của $\vec{b}$ cũng song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$. Theo tiên đề hình học về các đường thẳng song song, giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ phải song song hoặc trùng nhau. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
Vì $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{c}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với $\vec{c}$ ($\vec{c} \ne \vec{0}$) nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vừa cùng phương với $\vec{c}$, vừa có chiều mũi tên trùng với chiều mũi tên của $\vec{c}$. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với nhau.
Toạ độ các vectơ trên Hình 4.12:
- Vectơ $\vec{a}$: Điểm đầu $(-2; 0)$, điểm cuối $(0; 4)$. Đường thẳng giá có phương trình $y = 2x + 4$ (hệ số góc $k = 2$). Hướng từ dưới lên trên. Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- Vectơ $\vec{b}$: Điểm đầu $(-1; 0)$, điểm cuối $(0; 2)$. Đường thẳng giá có phương trình $y = 2x + 2$ (hệ số góc $k = 2$). Hướng từ dưới lên trên. Độ dài: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
- Vectơ $\vec{c}$: Điểm đầu $(2; 0)$, điểm cuối $(0; -4)$. Đường thẳng giá có phương trình $y = 2x - 4$ (hệ số góc $k = 2$). Hướng từ trên xuống dưới. Độ dài: $|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- Vectơ $\vec{d}$: Điểm đầu $(0; 2)$, điểm cuối $(4; 0)$. Đường thẳng giá có phương trình $x + 2y = 4 \iff y = -\frac{1}{2}x + 2$ (hệ số góc $k = -1/2$).
Hình 4.12 SGK Toán 10
Kết luận:
1. Các vectơ cùng phương:
Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ có giá là các đường thẳng song song với nhau (cùng có hệ số góc bằng $2$), do đó:
• $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đôi một cùng phương với nhau.
• Vectơ $\vec{d}$ không cùng phương với bất kì vectơ nào trong ba vectơ trên.
2. Các cặp vectơ ngược hướng:
• $\vec{a}$ và $\vec{c}$ ngược hướng (vì cùng phương, $\vec{a}$ hướng lên trên còn $\vec{c}$ hướng xuống dưới).
• $\vec{b}$ và $\vec{c}$ ngược hướng.
3. Các cặp vectơ bằng nhau:
Để hai vectơ bằng nhau, chúng phải cùng hướng và cùng độ dài.
• $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng nhưng $|\vec{a}| = 2\sqrt{5} \ne |\vec{b}| = \sqrt{5}$.
• $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng độ dài $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2\sqrt{5}$ nhưng lại ngược hướng.
⇒ Không có cặp vectơ nào bằng nhau trong Hình 4.12.
• Chiều thuận ($\implies$): Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
• Chiều đảo ($\Longleftarrow$): Nếu $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Theo tính chất hình bình hành, hai cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau: $$AD \parallel BC \quad \text{và} \quad AD = BC$$
• Vì $AD \parallel BC$ nên hai giá của hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song, do đó $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
• Xét chiều đi từ $A$ đến $D$ và từ $B$ đến $C$ theo định nghĩa đỉnh của hình bình hành, hai vectơ này có cùng chiều từ trái sang phải (hoặc cùng hướng), nên $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
• Mặt khác, độ dài $|\overrightarrow{BC}| = BC$ và $|\overrightarrow{AD}| = AD$, mà $BC = AD$ nên $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$.
⇒ Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, ta có: $$\begin{cases} \overrightarrow{BC} \text{ cùng hướng với } \overrightarrow{AD} \\ |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}| \end{cases}$$
• Vì $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên chúng cùng phương, suy ra hai đường thẳng chứa hai vectơ này song song hoặc trùng nhau: $BC \parallel AD$ (do $ABCD$ là tứ giác nên các đỉnh phân biệt không thẳng hàng, $BC$ không trùng $AD$).
• Vì $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$ nên độ dài đoạn thẳng $BC = AD$.
• Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($BC \parallel AD$ và $BC = AD$).
⇒ Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
• Áp dụng quy tắc ba điểm liên tiếp cho phép cộng vectơ: $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$.
• Áp dụng quy tắc hiệu cho phép trừ vectơ: $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$.
Lời giải chi tiết:
Biến đổi vế trái bằng cách nhóm theo quy tắc ba điểm:
$$\begin{aligned} \text{VT} &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) \\ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} \\ &= \overrightarrow{AA} = \vec{0} = \text{VP}. \end{aligned}$$
⇒ Đẳng thức được chứng minh.
Áp dụng quy tắc hiệu cho hai vế:
• Vế trái: $\text{VT} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ (theo quy tắc hiệu chung gốc $A$).
• Vế phải: $\text{VP} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC}$ (theo quy tắc hiệu chung gốc $B$).
⇒ Vì $\text{VT} = \text{VP} = \overrightarrow{DC}$ nên đẳng thức được chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$$
Theo giả thiết $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, do đó: $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$$
• Vì $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$ nên tứ giác $ABMC$ là hình bình hành (có hai cạnh đối $AC$ và $BM$ song song và bằng nhau).
⇒ Điểm $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABMC$.
• Vì $ABMC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}$.
• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$.
• Từ hai điều trên suy ra: $$\overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{CD} \quad \text{hay} \quad \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CM} = \vec{0}$$
⇒ Hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ là hai vectơ đối nhau (nghĩa là chúng cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài: $CD = CM$, tức $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $DM$).
• Dùng quy tắc hiệu: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$.
• Dùng tính chất trung điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AH}$ với $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ (hoặc dựng hình thoi $ABDC$).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng quy tắc hiệu: $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = CB = \mathbf{a}$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến: $$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Dựng điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là hình thoi. Khi đó theo quy tắc hình bình hành: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AH}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AH}| = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \mathbf{a\sqrt{3}}$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
1. Áp dụng quy tắc ba điểm, ta phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ qua đỉnh $B$: $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$$ 2. Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$ 3. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai cạnh đối $BC$ và $AD$ song song và bằng nhau, suy ra $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Do đó: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ 4. Thay vào đẳng thức ban đầu, ta được: $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ Vậy đáp án đúng là A.
1. Chèn hai điểm $M$ và $N$ vào các vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$$ $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$$ 2. Cộng vế với vế hai đẳng thức trên: $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$ - Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$.
- Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \vec{0}$.
Suy ra: $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} \quad (1)$$ 3. Chứng minh tương tự với $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$$ $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$$ Cộng hai vế ta được: $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND}) = 2\overrightarrow{MN} \quad (2)$$ Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.
Vậy đáp án đúng là A.
a) Xác định vị trí của điểm $K$:
Ta có: $$\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{KA} + 2(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0}$$ $$\iff 3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0} \iff -3\overrightarrow{AK} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0}$$ $$\iff \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$ Đẳng thức này cho thấy: - Hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng (vì hệ số $\frac{2}{3} > 0$). - Độ dài $AK = \frac{2}{3}AB$. Do đó điểm $K$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK = 2KB$.
b) Biểu diễn $\overrightarrow{OK}$ theo $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$:
Với điểm $O$ bất kì, ta chèn điểm $O$ vào đẳng thức $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$: $$(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OK}) + 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OK}) = \vec{0}$$ $$\iff \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OK} = \vec{0} \iff 3\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$$ $$\iff \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$ Vậy đáp án đúng là A.
a) Xác định vị trí điểm $M$:
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$.
Theo tính chất trung điểm, với điểm $M$ bất kì ta luôn có: $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$$ Thay vào đẳng thức đã cho: $$2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0} \iff 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC}) = \vec{0} \iff \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$$ Đẳng thức $\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$ chứng tỏ $M$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $IC$.
b) Hệ thức với điểm $O$ bất kì:
Ta có: $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}) + 2(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC})$$ $$= 4\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}) = 4\overrightarrow{OM} + \vec{0} = 4\overrightarrow{OM}$$ Vậy đáp án đúng là A.
Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$). Biết $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$, góc giữa $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ bằng $120^\circ$, và độ lớn của lực $\vec{F}_1$ là $20\text{ N}$.
Độ lớn của các lực $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ lần lượt là:
1. Vì chất điểm $A$ ở trạng thái cân bằng nên: $$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} \iff \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = -\vec{F}_3$$ Đặt $\vec{F}_{12} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. Khi đó $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_3$, nghĩa là vectơ $\vec{F}_{12}$ và $\vec{F}_3$ là hai vectơ đối nhau.
Suy ra: - Độ lớn: $|\vec{F}_{12}| = |\vec{F}_3|$. - Hướng: $\vec{F}_{12}$ ngược hướng với $\vec{F}_3$. 2. Theo giả thiết, góc giữa $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ là $120^\circ$. Do $\vec{F}_{12}$ ngược hướng với $\vec{F}_3$ nên góc giữa $\vec{F}_{12}$ và $\vec{F}_2$ là: $$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ 3. Do $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$, quy tắc hình bình hành cho thấy hợp lực $\vec{F}_{12}$ tạo với $\vec{F}_1, \vec{F}_2$ một tam giác vuông tại đỉnh của $\vec{F}_2$. Trong tam giác vuông này: - $\tan 60^\circ = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_2|} \implies |\vec{F}_2| = \frac{|\vec{F}_1|}{\tan 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ N} \approx 11{,}55\text{ N}$. - $\sin 60^\circ = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_{12}|} = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_3|} \implies |\vec{F}_3| = \frac{|\vec{F}_1|}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ N} \approx 23{,}09\text{ N}$.
Vậy đáp án đúng là A.
Ta có gốc toạ độ $O(0; 0)$ và các điểm $M(1; 3), N(4; 2)$.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng:
- Vectơ $\overrightarrow{OM} = (1 - 0;\; 3 - 0) = (1; 3) \Rightarrow OM = |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
- Vectơ $\overrightarrow{ON} = (4 - 0;\; 2 - 0) = (4; 2) \Rightarrow ON = |\overrightarrow{ON}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- Vectơ $\overrightarrow{MN} = (4 - 1;\; 2 - 3) = (3; -1) \Rightarrow MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
b) Chứng minh tam giác $OMN$ vuông cân:
- Vì $OM = MN = \sqrt{10}$ nên tam giác $OMN$ cân tại $M$.
- Xét tổng bình phương hai cạnh: $$OM^2 + MN^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20.$$ Mặt khác: $$ON^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20.$$ Suy ra $OM^2 + MN^2 = ON^2$. Theo định lí Pythagore đảo, tam giác $OMN$ vuông tại $M$.
Vậy tam giác $OMN$ vuông cân tại $M$.
a) Tìm mối liên hệ giữa $\overrightarrow{MN}$ và $2\vec{a} - \vec{b}$:
- Từ $\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} \Rightarrow \vec{a} = (3; -2)$.
- Ta có $2\vec{a} = (6; -4)$ và $\vec{b} = (4; -1)$.
Suy ra: $2\vec{a} - \vec{b} = (6 - 4;\; -4 - (-1)) = (2; -3)$.
- Mặt khác: $\overrightarrow{MN} = (3 - (-3);\; -3 - 6) = (6; -9)$.
Nhận thấy $(6; -9) = 3(2; -3)$, do đó: $$\overrightarrow{MN} = 3(2\vec{a} - \vec{b}).$$ b) Xét ba điểm $O, M, N$:
Ta có $\overrightarrow{OM} = (-3; 6)$ và $\overrightarrow{ON} = (3; -3)$.
Vì $\frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3}$ (do $-1 \neq -2$) nên hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ không cùng phương.
Do đó ba điểm $O, M, N$ không thẳng hàng.
c) Tìm toạ độ điểm $P(x; y)$ để $OMNP$ là hình bình hành:
Tứ giác $OMNP$ là hình bình hành khi và chỉ khi: $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MN} \quad (\text{hoặc } \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP} \Leftrightarrow \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{MN}).$$ Ta có $\overrightarrow{OP} = (x; y)$ và $\overrightarrow{MN} = (6; -9)$.
Do đó: $$\begin{cases} x = 6 \\ y = -9 \end{cases}$$ Vậy điểm cần tìm là $P(6; -9)$.
a) Chứng minh $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (2 - 1;\; 4 - 3) = (1; 1)$ và $\overrightarrow{AC} = (-3 - 1;\; 2 - 3) = (-4; -1)$.
Vì $\frac{1}{-4} \neq \frac{1}{-1}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
Do đó ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng, hay $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.
b) Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$:
Áp dụng công thức toạ độ trung điểm: $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}; \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}.$$ Vậy $M\left(\frac{3}{2};\; \frac{7}{2}\right)$.
c) Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
Áp dụng công thức toạ độ trọng tâm: $$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 2 + (-3)}{3} = 0; \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 4 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3.$$ Vậy $G(0; 3)$.
d) Tìm điểm $D(x; y)$ để $O(0; 0)$ là trọng tâm tam giác $ABD$:
Điểm $O(0; 0)$ là trọng tâm tam giác $ABD$ khi và chỉ khi: $$\begin{cases} x_O = \frac{x_A + x_B + x_D}{3} \\ y_O = \frac{y_A + y_B + y_D}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 = \frac{1 + 2 + x}{3} \\ 0 = \frac{3 + 4 + y}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -3 \\ y = -7 \end{cases}$$ Vậy điểm cần tìm là $D(-3; -7)$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) \(\vec{a} = (-3; 1), \vec{b} = (2; 6)\);
b) \(\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)\);
c) \(\vec{a} = (-\sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; -\sqrt{2})\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0\]
Vì \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) nên hai vectơ vuông góc với nhau, tức là \((\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ\).
b) Ta có:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6 + 4 = 10\]
\[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}; \quad |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
Suy ra:
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies (\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ.\]
c) Ta có:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - \sqrt{2} = -3\sqrt{2}\]
\[|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}; \quad |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}\]
Suy ra:
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1 \implies (\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ.\]
Vậy kết quả các câu là: a) \(90^\circ\); b) \(45^\circ\); c) \(180^\circ\).
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\);
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\).
Lời giải chi tiết:
Theo công thức tích vô hướng:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})\]
• Nếu có ít nhất một trong hai vectơ là \(\vec{0}\), thì hai vế của cả hai đẳng thức a) và b) đều bằng \(0\), do đó đẳng thức luôn đúng.
• Nếu cả hai vectơ đều khác vectơ \(\vec{0}\) (tức \(|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0\)):
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \iff \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \iff (\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng hướng.
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \iff \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1 \iff (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) ngược hướng.
a) Tính \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}\) theo \(t\).
b) Tìm \(t\) để \(\widehat{AMB} = 90^\circ\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có toạ độ của hai vectơ:
\[\overrightarrow{AM} = (t - 1; 0 - 2) = (t - 1; -2)\]
\[\overrightarrow{BM} = (t - (-4); 0 - 3) = (t + 4; -3)\]
Tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t - 1)(t + 4) + (-2)(-3) = (t^2 + 3t - 4) + 6 = t^2 + 3t + 2.\]
b) Ta có tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) khi và chỉ khi:
\[\widehat{AMB} = 90^\circ \iff \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BM} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0\]
\[\iff t^2 + 3t + 2 = 0 \iff (t + 1)(t + 2) = 0 \iff \left[\begin{aligned} t &= -1 \\ t &= -2 \end{aligned}\right.\]
Vậy có hai điểm thoả mãn là \(M_1(-1; 0)\) và \(M_2(-2; 0)\).
a) Giải tam giác \(ABC\).
b) Tìm toạ độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là \(10,2\text{ kg}\).
b) Bán kính Trái Đất là \(6\,371\text{ km}\).
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất \(365\text{ ngày}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải thích chi tiết:
- a) \(10,2\text{ kg}\) là số gần đúng: Vì đây là kết quả thu được từ một phép cân đo thực nghiệm, luôn chịu ảnh hưởng bởi độ chia của cân và các điều kiện đo đạc.
- b) \(6\,371\text{ km}\) là số gần đúng: Vì hình dạng thực tế của Trái Đất là hình cầu hơi dẹt ở hai cực (hình elipsoid), nên bán kính từ tâm tới các điểm trên bề mặt là không hoàn toàn bằng nhau; con số \(6\,371\text{ km}\) chỉ là giá trị trung bình xấp xỉ.
- c) \(365\text{ ngày}\) là số gần đúng: Vì thời gian thực tế để Trái Đất hoàn thành một vòng quay quanh Mặt Trời (một năm chí tuyến) xấp xỉ \(365,2422\text{ ngày}\) (khoảng 365 ngày 5 giờ 48 phút 46 giây).
Vậy cả ba số trên đều là các số gần đúng.
Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là \(1\,235 \pm 5\text{ m}\)” và thực hiện làm tròn số gần đúng.
Phương án nào dưới đây nêu đúng ý nghĩa và số quy tròn?
1. Giải thích ý nghĩa kết quả \(1\,235 \pm 5\text{ m}\):
• Số gần đúng đo được là \(h = 1\,235\text{ m}\).
• Độ chính xác của phép đo là \(d = 5\text{ m}\).
• Độ cao thực tế của ngọn núi là số đúng \(\overline{h}\) chưa biết chính xác nhưng nằm trong đoạn:
$$\overline{h} \in [1\,235 - 5; 1\,235 + 5] = [1\,230; 1\,240]\text{ (m)}.$$
2. Thực hiện làm tròn số gần đúng:
• Vì độ chính xác \(d = 5\text{ m} < 10\text{ m}\) (hàng chục) nên ta làm tròn số \(1\,235\) đến hàng chục.
• Chữ số hàng chục là 3, chữ số ngay sau nó là 5 (\(\ge 5\)) nên tăng chữ số hàng chục thêm 1 thành 4, và thay chữ số hàng đơn vị bằng 0.
Vậy số quy tròn là \(1\,240\text{ m}\).
Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho \(\sqrt[3]{7}\) với độ chính xác \(0,0005\).
• Sử dụng máy tính cầm tay, ta bấm tính giá trị căn bậc ba của 7:
$$\sqrt[3]{7} = 1,912931183\ldots$$
• Vì độ chính xác \(d = 0,0005 < 0,001\) (hàng phần nghìn) nên ta làm tròn số đến hàng phần nghìn (chữ số thập phân thứ ba).
• Chữ số hàng phần nghìn là 2, chữ số ngay bên phải nó là 9 (\(\ge 5\)) nên ta tăng thêm 1 đơn vị thành 3.
Vậy số gần đúng của \(\sqrt[3]{7}\) với độ chính xác \(0,0005\) là 1,913.
Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:
Phương pháp nào chính xác nhất theo sai số tương đối?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính \(2\text{ cm}\) với hai kết quả như sau:
Kết quả của An: \(S_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 2 = 12,56\text{ cm}\);
Kết quả của Bình: \(S_2 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,1 \cdot 2 = 12,4\text{ cm}\).
Hỏi: a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không? b) Giá trị nào chính xác hơn?
a) Về tính chất của hai giá trị:
Cả hai giá trị \(S_1 = 12,56\text{ cm}\) và \(S_2 = 12,4\text{ cm}\) đều là các số gần đúng vì cả An và Bình đều thay số vô tỉ \(\pi\) bằng các số gần đúng của nó (An dùng \(3,14\) và Bình dùng \(3,1\)).
b) So sánh độ chính xác:
Chu vi đúng của hình tròn là \(C = 2\pi R = 4\pi \approx 12,56637061\ldots\text{ cm}\).
• Sai số tuyệt đối của kết quả của An:
$$\Delta_1 = |C - S_1| = |4\pi - 12,56| \approx |12,56637 - 12,56| = 0,00637\text{ (cm)}.$$
• Sai số tuyệt đối của kết quả của Bình:
$$\Delta_2 = |C - S_2| = |4\pi - 12,4| \approx |12,56637 - 12,4| = 0,16637\text{ (cm)}.$$
Vì \(\Delta_1 < \Delta_2\) (\(0,00637\text{ cm} < 0,16637\text{ cm}\)) nên kết quả của An chính xác hơn kết quả của Bình.
Làm tròn số \(8\,316,4\) đến hàng chục và \(9,754\) đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.
1. Với số \(8\,316,4\):
• Làm tròn đến hàng chục: Chữ số hàng chục là 1, chữ số ngay sau nó là 6 (\(\ge 5\)) nên tăng chữ số hàng chục lên 1 đơn vị thành 2, chữ số hàng đơn vị thành 0 và bỏ phần thập phân.
Ta được số quy tròn là \(8\,320\).
• Sai số tuyệt đối của số quy tròn:
$$\Delta = |8\,316,4 - 8\,320| = |-3,6| = 3,6.$$
2. Với số \(9,754\):
• Làm tròn đến hàng phần trăm: Chữ số hàng phần trăm là 5, chữ số ngay sau nó là 4 (\(< 5\)) nên ta giữ nguyên 5 và bỏ chữ số hàng phần nghìn.
Ta được số quy tròn là \(9,75\).
• Sai số tuyệt đối của số quy tròn:
$$\Delta = |9,754 - 9,75| = |0,004| = 0,004.$$
Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà 5 vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: 9 8 15 8 20.
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): 350 300 650 300 450 500 300 250.
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: 36 38 33 34 32 30 34 35.
Kết quả nào sau đây là hoàn toàn chính xác cho cả 3 mẫu số liệu?
a) Mẫu số liệu điểm 5 vận động viên: 9, 8, 15, 8, 20
• Sắp xếp dãy số theo thứ tự không giảm: \(8, 8, 9, 15, 20\) (có \(n = 5\) giá trị).
• Số trung bình: $$\overline{x} = \frac{8 + 8 + 9 + 15 + 20}{5} = \frac{60}{5} = 12.$$
• Vì \(n = 5\) là số lẻ nên trung vị là số ở chính giữa (số thứ 3): \(M_e = Q_2 = 9\).
• Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \(Q_2\) (gồm 8, 8): $$Q_1 = \frac{8 + 8}{2} = 8.$$
• Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \(Q_2\) (gồm 15, 20): $$Q_3 = \frac{15 + 20}{2} = 17,5.$$
• Giá trị 8 xuất hiện nhiều nhất (2 lần) nên mốt là \(M_0 = 8\).
b) Mẫu giá giày (nghìn đồng): 350, 300, 650, 300, 450, 500, 300, 250
• Sắp xếp theo thứ tự không giảm: \(250, 300, 300, 300, 350, 450, 500, 650\) (có \(n = 8\) giá trị).
• Số trung bình: $$\overline{x} = \frac{250 + 300\times 3 + 350 + 450 + 500 + 650}{8} = \frac{3100}{8} = 387,5\text{ (nghìn đồng)}.$$
• Vì \(n = 8\) là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của 2 số chính giữa (số thứ 4 và thứ 5): $$M_e = Q_2 = \frac{300 + 350}{2} = 325.$$
• Nửa bên trái gồm 4 số (250, 300, 300, 300) có trung vị: $$Q_1 = \frac{300 + 300}{2} = 300.$$
• Nửa bên phải gồm 4 số (350, 450, 500, 650) có trung vị: $$Q_3 = \frac{450 + 500}{2} = 475.$$
• Giá trị 300 xuất hiện nhiều nhất (3 lần) nên mốt là \(M_0 = 300\).
c) Mẫu số kênh truyền hình cáp: 36, 38, 33, 34, 32, 30, 34, 35
• Sắp xếp theo thứ tự không giảm: \(30, 32, 33, 34, 34, 35, 36, 38\) (có \(n = 8\) giá trị).
• Số trung bình: $$\overline{x} = \frac{30 + 32 + 33 + 34 + 34 + 35 + 36 + 38}{8} = \frac{282}{8} = 35,25.$$
• Trung vị của mẫu: $$M_e = Q_2 = \frac{34 + 34}{2} = 34.$$
• Nửa bên trái gồm (30, 32, 33, 34) có trung vị: $$Q_1 = \frac{32 + 33}{2} = 32,5.$$
• Nửa bên phải gồm (34, 35, 36, 38) có trung vị: $$Q_3 = \frac{35 + 36}{2} = 35,5.$$
• Giá trị 34 xuất hiện nhiều nhất (2 lần) nên mốt là \(M_0 = 34\).
Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
| Hành tinh | Thuỷ tinh | Kim tinh | Trái Đất | Hoả tinh | Mộc tinh | Thổ tinh | Thiên Vương tinh | Hải Vương tinh |
| Số mặt trăng | 0 | 0 | 1 | 2 | 63 | 34 | 27 | 13 |
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 14 23.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 80 102 83 103 108 94 110 106 104 100.
d) Các sai số trong một phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42.
Khẳng định lựa chọn nào sau đây là đúng nhất?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Phương án nào nêu đúng các giá trị đặc trưng và lời giải thích?
a) Tìm các số đặc trưng:
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 6, 10 (\(n = 10\)).
• Số trung bình: $$\overline{x} = \frac{0\times 7 + 4 + 6 + 10}{10} = \frac{20}{10} = 2.$$
• Mốt: Giá trị 0 xuất hiện nhiều nhất (7 lần) nên $$M_0 = 0.$$
• Trung vị: Vì \(n = 10\) là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của số thứ 5 và thứ 6: $$Q_2 = M_e = \frac{0 + 0}{2} = 0.$$
• Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): là trung vị của 5 số bên trái (0, 0, 0, 0, 0) nên $$Q_1 = 0.$$
• Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\): là trung vị của 5 số bên phải (0, 0, 4, 6, 10), số ở chính giữa là 4 nên $$Q_3 = 4.$$
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau:
Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau (\(Q_1 = Q_2 = 0\)) vì có tới 7 trên 10 trường (chiếm 70% mẫu số liệu) không có học sinh giỏi Quốc gia nào (nhận giá trị 0). Do số lượng giá trị 0 chiếm đa số áp đảo nên cả vị trí chính giữa của toàn bộ mẫu số liệu lẫn vị trí chính giữa của nửa bên trái đều rơi vào giá trị 0.
Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng):
| Sân vận động | Cẩm Phả | Thiên Trường | Hàng Đẫy | Thanh Hoá | Mỹ Đình |
| Số chỗ ngồi | 20 120 | 21 315 | 23 405 | 20 120 | 37 546 |
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
2,593 3,270 3,813 4,042 3,387.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
| Thời điểm \(t\) (giờ) | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nhiệt độ \(T\) (\(^\circ\text{C}\)) | 22 | 25 | 28 | 30 | 28 |
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) $y = x^2 - 3x + 2$;
b) $y = -2x^2 + 2x + 3$;
c) $y = x^2 + 2x + 1$;
d) $y = -x^2 + x - 1$.
Toạ độ đỉnh $I$ và trục đối xứng của 4 parabol trên lần lượt là:
a) Parabol $y = x^2 - 3x + 2$:
- Hệ số $a = 1 > 0, b = -3, c = 2 \implies \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1$.
- Đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right) = I\left(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{4}\right)$.
- Trục đối xứng là đường thẳng $x = \dfrac{3}{2}$.
- Vì $a = 1 > 0$ nên bề lõm quay lên trên.
- Giao điểm với trục tung: $x = 0 \implies y = 2$, điểm $(0; 2)$. Điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là $(3; 2)$.
- Giao điểm với trục hoành: $x^2 - 3x + 2 = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 2$, tức các điểm $(1; 0)$ và $(2; 0)$.
b) Parabol $y = -2x^2 + 2x + 3$:
- Hệ số $a = -2 < 0, b = 2, c = 3 \implies \Delta = 2^2 - 4(-2)(3) = 28$.
- Đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right) = I\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{7}{2}\right)$.
- Trục đối xứng là đường thẳng $x = \dfrac{1}{2}$.
- Vì $a = -2 < 0$ nên bề lõm quay xuống dưới.
- Giao điểm với trục tung: $x = 0 \implies y = 3$, điểm $(0; 3)$. Điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là $(1; 3)$.
- Giao điểm với trục hoành: $-2x^2 + 2x + 3 = 0 \iff x = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$.
c) Parabol $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$:
- Hệ số $a = 1 > 0, b = 2, c = 1 \implies \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$.
- Đỉnh $I(-1; 0)$.
- Trục đối xứng là đường thẳng $x = -1$.
- Vì $a = 1 > 0$ nên bề lõm quay lên trên.
- Giao điểm với trục tung: $x = 0 \implies y = 1$, điểm $(0; 1)$. Điểm đối xứng qua trục là $(-2; 1)$.
- Parabol tiếp xúc với trục hoành tại đỉnh $I(-1; 0)$.
d) Parabol $y = -x^2 + x - 1$:
- Hệ số $a = -1 < 0, b = 1, c = -1 \implies \Delta = 1^2 - 4(-1)(-1) = -3 < 0$.
- Đỉnh $I\left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{4}\right)$.
- Trục đối xứng là đường thẳng $x = \dfrac{1}{2}$.
- Vì $a = -1 < 0$ nên bề lõm quay xuống dưới.
- Giao điểm với trục tung: $x = 0 \implies y = -1$, điểm $(0; -1)$. Điểm đối xứng qua trục là $(1; -1)$.
- Vì $\Delta < 0$ nên parabol không cắt trục hoành (nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành).
Hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ có hoành độ đỉnh $x_I = -\dfrac{b}{2a}$:
- Nếu $a > 0$: hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$.
- Nếu $a < 0$: hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$.
Áp dụng:
- a) $y = x^2 - 3x + 2$ có $a = 1 > 0$ và $x_I = \dfrac{3}{2} \implies$ nghịch biến trên $\left(-\infty; \dfrac{3}{2}\right)$, đồng biến trên $\left(\dfrac{3}{2}; +\infty\right)$.
- b) $y = -2x^2 + 2x + 3$ có $a = -2 < 0$ và $x_I = \dfrac{1}{2} \implies$ đồng biến trên $\left(-\infty; \dfrac{1}{2}\right)$, nghịch biến trên $\left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$.
- c) $y = x^2 + 2x + 1$ có $a = 1 > 0$ và $x_I = -1 \implies$ nghịch biến trên $(-\infty; -1)$, đồng biến trên $(-1; +\infty)$.
- d) $y = -x^2 + x - 1$ có $a = -1 < 0$ và $x_I = \dfrac{1}{2} \implies$ đồng biến trên $\left(-\infty; \dfrac{1}{2}\right)$, nghịch biến trên $\left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$.
a) Đi qua hai điểm $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$;
b) Đi qua điểm $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$;
c) Có đỉnh $I(1; 2)$;
d) Đi qua điểm $C(-1; 1)$ và có tung độ đỉnh bằng $-0,25$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
(Gợi ý: Phương trình parabol có thể viết dưới dạng $y = a(x - h)^2 + k$, trong đó $I(h; k)$ là toạ độ đỉnh của parabol).
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.
a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành:
- Vì đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên giá trị của hàm số luôn dương ($y > 0, \forall x \in \mathbb{R}$). Do đó bề lõm phải quay lên trên $\implies a > 0$.
- Đồ thị không cắt trục hoành nên phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ vô nghiệm $\implies \Delta < 0$.
Vậy: $a > 0$ và $\Delta < 0$.
b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành:
- Vì đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên giá trị của hàm số luôn âm ($y < 0, \forall x \in \mathbb{R}$). Do đó bề lõm phải quay xuống dưới $\implies a < 0$.
- Đồ thị không cắt trục hoành nên phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ vô nghiệm $\implies \Delta < 0$.
Vậy: $a < 0$ và $\Delta < 0$.
c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành:
- $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $\implies \Delta > 0$.
- Đỉnh $I$ nằm phía dưới trục hoành mà $(P)$ cắt trục hoành tại 2 điểm nên đỉnh $I$ là điểm thấp nhất của parabol, suy ra bề lõm quay lên trên $\implies a > 0$.
Vậy: $a > 0$ và $\Delta > 0$.
d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành:
- $(P)$ tiếp xúc với trục hoành nên phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm kép $\implies \Delta = 0$.
- $(P)$ nằm phía trên trục hoành ($y \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$) nên bề lõm quay lên trên $\implies a > 0$.
Vậy: $a > 0$ và $\Delta = 0$.
An nói: "Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là $8\text{ m}$ và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng $0,5\text{ m}$ là $2,93\text{ m}$. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là $12\text{ m}$."
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: "Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác."
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) $3x^2 - 4x + 1$;
b) $x^2 + 2x + 1$;
c) $-x^2 + 3x - 2$;
d) $-x^2 + x - 1$.
a) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$:
- Hệ số $a = 3 > 0$.
- Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 = \dfrac{1}{3}$ và $x_2 = 1$.
- Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai (trong trái, ngoài cùng):
+ $f(x) > 0$ khi $x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty)$;
+ $f(x) < 0$ khi $x \in \left(\dfrac{1}{3}; 1\right)$;
+ $f(x) = 0$ khi $x \in \left\{\dfrac{1}{3}; 1\right\}$.
b) $f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$:
- Hệ số $a = 1 > 0, \Delta' = 1 - 1 = 0$.
- Tam thức có nghiệm kép $x = -1$.
- Do đó $f(x) > 0$ với mọi $x \ne -1$ và $f(-1) = 0$.
c) $f(x) = -x^2 + 3x - 2$:
- Hệ số $a = -1 < 0$.
- Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1$ và $x_2 = 2$.
- Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai:
+ $f(x) > 0$ khi $x \in (1; 2)$;
+ $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$;
+ $f(x) = 0$ khi $x \in \{1; 2\}$.
d) $f(x) = -x^2 + x - 1$:
- Hệ số $a = -1 < 0$.
- $\Delta = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3 < 0$.
- Vì $\Delta < 0$ nên tam thức luôn cùng dấu với hệ số $a$, tức $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
a) $x^2 - 1 \ge 0$;
b) $x^2 - 2x - 1 < 0$;
c) $-3x^2 + 12x + 1 \le 0$;
d) $5x^2 + x + 1 \ge 0$.
a) $x^2 - 1 \ge 0$:
Tam thức $x^2 - 1$ có hệ số $a = 1 > 0$ và hai nghiệm $x = \pm 1$.
Do $a > 0$ nên $x^2 - 1 \ge 0$ khi $x \le -1$ hoặc $x \ge 1$.
Tập nghiệm: $S = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
b) $x^2 - 2x - 1 < 0$:
Tam thức có $\Delta' = 1 - (-1) = 2 > 0$, hệ số $a = 1 > 0$ và hai nghiệm $x = 1 \pm \sqrt{2}$.
Bất phương trình mang dấu âm (trái dấu với $a$) trong khoảng hai nghiệm.
Tập nghiệm: $S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.
c) $-3x^2 + 12x + 1 \le 0$:
Tam thức có $\Delta' = 6^2 - (-3)(1) = 39 > 0$, hệ số $a = -3 < 0$.
Hai nghiệm phân biệt: $x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{39}}{-3} = \dfrac{6 \mp \sqrt{39}}{3}$.
Do $a = -3 < 0$, tam thức cùng dấu với $a$ (mang dấu $\le 0$) ở ngoài đoạn hai nghiệm.
Tập nghiệm: $S = \left(-\infty; \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3}\right] \cup \left[\dfrac{6 + \sqrt{39}}{3}; +\infty\right)$.
d) $5x^2 + x + 1 \ge 0$:
Tam thức có $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = -19 < 0$ và hệ số $a = 5 > 0$.
Vì $\Delta < 0$ và $a > 0$ nên $5x^2 + x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Tập nghiệm: $S = \mathbb{R}$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1; 3)$ và nhận $\vec{n}(2; 1)$ làm vectơ pháp tuyến là: $$2(x - 1) + 1(y - 3) = 0 \iff 2x - 2 + y - 3 = 0 \iff 2x + y - 5 = 0.$$
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(-2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}(3; 2)$ là: $$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $$\overrightarrow{AB} = (-2 - 1; 1 - 3) = (-3; -2).$$ - Chọn vectơ chỉ phương cùng phương là $\vec{u} = -\overrightarrow{AB} = (3; 2)$.
- Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(3; 2)$ có phương trình tham số là: $$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
- Trục hoành $Ox$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và nhận vectơ đơn vị $\vec{j}(0; 1)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình tổng quát của $Ox$ là: $$0(x - 0) + 1(y - 0) = 0 \iff y = 0.$$ - Trục tung $Oy$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và nhận vectơ đơn vị $\vec{i}(1; 0)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình tổng quát của $Oy$ là: $$1(x - 0) + 0(y - 0) = 0 \iff x = 0.$$
Cách 1 (Khử tham số $t$):
Từ phương trình tham số ta có: $$t = \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 3}{5} \iff 5(x - 1) = 2(y - 3) \iff 5x - 5 = 2y - 6 \iff 5x - 2y + 1 = 0.$$ Cách 2 (Dùng vectơ pháp tuyến):
Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M(1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 5)$.
Suy ra vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\vec{n} = (5; -2)$.
Phương trình tổng quát là: $$5(x - 1) - 2(y - 3) = 0 \iff 5x - 2y + 1 = 0.$$
- Đường thẳng $\Delta_2: 2x + 3y - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; 3)$.
- Do đó một vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u} = (-3; 2)$ (hoặc $\vec{u}' = (3; -2)$).
- Tìm một điểm thuộc $\Delta_2$: Cho $y = 1 \Rightarrow 2x + 3(1) - 5 = 0 \iff 2x = 2 \iff x = 1$, ta được điểm $M(1; 1) \in \Delta_2$.
- Phương trình tham số của $\Delta_2$ đi qua $M(1; 1)$ và có VTCP $\vec{u}(-3; 2)$ là: $$\begin{cases} x = 1 - 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$
- Đường cao kẻ từ đỉnh $A$ vuông góc với cạnh $BC$.
- Ta có: $\overrightarrow{BC} = (-2 - 3; -1 - 0) = (-5; -1) = -(5; 1)$.
- Do đó, đường cao kẻ từ $A$ nhận $\vec{n} = (5; 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.
- Phương trình tổng quát của đường cao đi qua $A(1; 2)$ với VTPT $\vec{n}(5; 1)$ là: $$5(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \iff 5x - 5 + y - 2 = 0 \iff 5x + y - 7 = 0.$$
- Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Toạ độ của $M$ là: $$x_M = \dfrac{x_A + x_C}{2} = \dfrac{1 + (-2)}{2} = -\dfrac{1}{2}, \quad y_M = \dfrac{y_A + y_C}{2} = \dfrac{2 + (-1)}{2} = \dfrac{1}{2} \implies M\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right).$$ - Đường trung tuyến kẻ từ $B$ đi qua hai điểm $B(3; 0)$ và $M\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$.
- Vectơ chỉ phương: $$\overrightarrow{BM} = \left(-\dfrac{1}{2} - 3; \dfrac{1}{2} - 0\right) = \left(-\dfrac{7}{2}; \dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}(7; -1).$$ - Chọn vectơ chỉ phương $\vec{u} = (7; -1) \implies$ một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 7)$.
- Phương trình tổng quát của đường trung tuyến $BM$ đi qua $B(3; 0)$ là: $$1(x - 3) + 7(y - 0) = 0 \iff x + 7y - 3 = 0.$$
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(a; 0)$ và $B(0; b)$ với $ab \ne 0$ (Hình 7.3). Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ có dạng:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $$\overrightarrow{AB} = (0 - a; b - 0) = (-a; b).$$ - Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (b; a)$ vì tích vô hướng $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = b(-a) + a(b) = 0$.
- Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(a; 0)$ với VTPT $\vec{n}(b; a)$ là: $$b(x - a) + a(y - 0) = 0 \iff bx + ay - ab = 0 \iff bx + ay = ab.$$ - Do $ab \ne 0$, chia cả hai vế cho $ab$ ta được: $$\dfrac{bx}{ab} + \dfrac{ay}{ab} = \dfrac{ab}{ab} \iff \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1.$$ Phương trình này được gọi là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
- Vectơ pháp tuyến của $\Delta_1$ là $\vec{n}_1(3\sqrt{2}; \sqrt{2})$, của $\Delta_2$ là $\vec{n}_2(6; 2)$.
- Ta có: $$\vec{n}_2 = (6; 2) = \sqrt{2}(3\sqrt{2}; \sqrt{2}) = \sqrt{2}\vec{n}_1.$$ - Xét hệ số tự do: $-\sqrt{6} = \sqrt{2}(-\sqrt{3})$.
- Nhân cả hai vế phương trình của đường thẳng $\Delta_1$ với $\sqrt{2}$, ta được: $$\sqrt{2}(3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - \sqrt{3}) = 0 \iff 6x + 2y - \sqrt{6} = 0.$$ Phương trình này hoàn toàn trùng với phương trình của $\Delta_2$.
Vậy $\Delta_1$ trùng $\Delta_2$.
- Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\vec{n}_1(1; -\sqrt{3})$, của $d_2$ là $\vec{n}_2(\sqrt{3}; -3)$.
- Ta thấy: $$\dfrac{\sqrt{3}}{1} = \dfrac{-3}{-\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies \vec{n}_2 = \sqrt{3}\vec{n}_1.$$ Do hai vectơ pháp tuyến cùng phương nên $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau.
- Lấy điểm $M(-2; 0) \in d_1$. Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của $d_2$: $$\sqrt{3}(-2) - 3\cdot 0 + 2 = 2 - 2\sqrt{3} \ne 0 \implies M \notin d_2.$$ Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.
- Đường thẳng $m_1$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(1; -2)$.
- Đường thẳng $m_2$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2(3; 1)$.
- Ta thấy $\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{-2}{1}$ nên hai vectơ $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ không cùng phương. Do đó hai đường thẳng $m_1$ và $m_2$ cắt nhau.
- Toạ độ giao điểm của $m_1$ và $m_2$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 3x + y - 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 6x + 2y = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} 7x = 3 \\ y = 2 - 3x \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{3}{7} \\ y = \dfrac{5}{7}. \end{cases}$$ Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $M\left(\dfrac{3}{7}; \dfrac{5}{7}\right)$.
- Đường thẳng $\Delta_1$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_1(\sqrt{3}; 1)$.
- Đường thẳng $\Delta_2$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_2(1; \sqrt{3})$.
- Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Ta có: $$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} = \dfrac{|\sqrt{3}\cdot 1 + 1\cdot\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}\cdot\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$ - Do $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ và $\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\varphi = 30^\circ$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $30^\circ$.
- Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1(2; 4)$.
- Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2(1; -3)$.
- Ta có: $$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2\cdot 1 + 4\cdot(-3) = 2 - 12 = -10.$$ $$|\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, \quad |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}.$$ - Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$: $$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot|\vec{u}_2|} = \dfrac{|-10|}{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \dfrac{10}{2\sqrt{50}} = \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$ - Do đó $\varphi = 45^\circ$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $45^\circ$.
- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $A(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$: $$d(A, \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$ - Với $A(0; -2)$ và $\Delta: x + y - 4 = 0$, ta có: $$d(A, \Delta) = \dfrac{|1\cdot 0 + 1\cdot(-2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{|-6|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.$$ Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là $3\sqrt{2}$.
- Vì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $\Delta: x + y - 4 = 0$ nên phương trình đường thẳng $a$ có dạng: $$x + y + C = 0 \quad (C \ne -4).$$ - Mặt khác, $a$ đi qua điểm $M(-1; 0)$ nên toạ độ $M$ thoả mãn phương trình: $$-1 + 0 + C = 0 \iff C = 1 \text{ (thoả mãn điều kiện } C \ne -4\text{)}.$$ Vậy phương trình của đường thẳng $a$ là $x + y + 1 = 0$.
- Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_\Delta(1; 1)$.
- Vì đường thẳng $b$ vuông góc với $\Delta$ nên vectơ pháp tuyến của $\Delta$ đóng vai trò là vectơ chỉ phương của $b$, tức $\vec{u}_b = (1; 1)$.
- Từ đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $b$ là $\vec{n}_b = (1; -1)$.
- Đường thẳng $b$ đi qua $N(0; 3)$ và có VTPT $\vec{n}_b(1; -1)$ có phương trình: $$1(x - 0) - 1(y - 3) = 0 \iff x - y + 3 = 0.$$ Vậy phương trình của đường thẳng $b$ là $x - y + 3 = 0$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
- Viết lại phương trình hai đường thẳng dưới dạng tổng quát: $$d: ax - y + b = 0 \implies \text{vectơ pháp tuyến } \vec{n}_1(a; -1).$$ $$d': a'x - y + b' = 0 \implies \text{vectơ pháp tuyến } \vec{n}_2(a'; -1).$$ - Hai đường thẳng $d$ và $d'$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ vuông góc với nhau: $$d \perp d' \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0.$$ - Tính tích vô hướng: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = a\cdot a' + (-1)\cdot(-1) = aa' + 1.$$ - Do đó: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff aa' + 1 = 0 \iff aa' = -1.$$ Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi $aa' = -1$.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) $2x + 3y > 6$;
b) $2^2x + y \le 0$;
c) $2x^2 - y \ge 1$.
Theo định nghĩa, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \le c$ (hoặc $\ge, <, >$) với $a, b$ không đồng thời bằng 0, bậc của các ẩn $x, y$ đều là bậc một.
• Bất phương trình $2x + 3y > 6$: có $a = 2, b = 3, c = 6 \implies$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Bất phương trình $2^2x + y \le 0 \iff 4x + y \le 0$: có $a = 4, b = 1, c = 0 \implies$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Bất phương trình $2x^2 - y \ge 1$: có chứa $x^2$ (bậc hai) $\implies$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy cả a) và b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn B.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ cho phép các ẩn $x, y$ xuất hiện ở bậc nhất (mũ 1).
Trong bất phương trình $2x^2 - y \ge 1$, ẩn $x$ có số mũ bằng 2 nên đây là bất phương trình bậc hai, không phải bậc nhất hai ẩn. Chọn B.
• Bước 1: Vẽ đường thẳng bờ $d: 3x + 2y = 300$ đi qua hai điểm $(100; 0)$ và $(0; 150)$. Vì dấu của BPT là $\ge$ nên lấy cả bờ $d$ (vẽ nét liền).
• Bước 2: Thử với gốc toạ độ $O(0; 0) \notin d$: thay vào vế trái ta có $3(0) + 2(0) = 0 < 300$. Điểm $O(0; 0)$ không thoả mãn bất phương trình.
• Bước 3: Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc toạ độ $O(0; 0)$, kể cả bờ $d$. Chọn B.
• Đường thẳng bờ $d: 7x + 20y = 0$ đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ nên ta không thể chọn $O(0; 0)$ làm điểm kiểm tra.
• Chọn điểm thử $M_0(0; 1) \notin d$. Thay vào vế trái: $7(0) + 20(1) = 20 > 0$ (không thoả mãn điều kiện $< 0$).
• Vì bất phương trình có dấu ngặt ($<$) nên bờ $d$ được biểu diễn bằng nét đứt và không thuộc miền nghiệm.
• Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $M_0(0; 1)$, không kể bờ $d$. Chọn B.
• Từ thứ Hai đến thứ Sáu (5 ngày): Phí cố định 900 nghìn đồng/ngày, phí di chuyển 8 nghìn đồng/km.
• Thứ Bảy và Chủ nhật (2 ngày): Phí cố định 1 500 nghìn đồng/ngày, phí di chuyển 10 nghìn đồng/km.
Gọi $x, y$ lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ T2 đến T6 và trong 2 ngày cuối tuần ($x \ge 0, y \ge 0$). Bất phương trình biểu thị tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
• Vẽ đường thẳng $d: 4x + 5y = 3\,250$ (nét liền vì có dấu $\le$):
- Cho $x = 0 \implies y = \frac{3\,250}{5} = 650 \implies A(0; 650)$.
- Cho $y = 0 \implies x = \frac{3\,250}{4} = 812{,}5 \implies B(812{,}5; 0)$.
• Thử gốc toạ độ $O(0; 0)$: $4(0) + 5(0) = 0 \le 3\,250$ (đúng).
• Vì $x \ge 0$ (phía bên phải trục $Oy$) và $y \ge 0$ (phía bên trên trục $Ox$), miền nghiệm của hệ ràng buộc là miền tam giác $OAB$ kể cả ba cạnh $OA, OB, AB$. Chọn B.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Bạn Phong chỉ cần chọn một cuốn sách để đọc vào ngày cuối tuần, nghĩa là thực hiện một trong ba phương án rời nhau sau:
- Phương án 1: Chọn một cuốn truyện ngắn \(\implies\) có \(8\) cách chọn.
- Phương án 2: Chọn một cuốn tiểu thuyết \(\implies\) có \(7\) cách chọn.
- Phương án 3: Chọn một tập thơ \(\implies\) có \(5\) cách chọn.
Vì ba phương án này hoàn toàn độc lập và không trùng lặp cuốn nào, áp dụng quy tắc cộng, tổng số cách chọn một cuốn sách là:
\[8 + 7 + 5 = 20 ext{ (cách)}\]Vậy bạn Phong có 20 cách lựa chọn.
Việc gieo đồng xu 3 lần là một công việc gồm ba công đoạn liên tiếp:
- Lần 1: Có \(2\) khả năng xảy ra (Sấp hoặc Ngửa).
- Lần 2: Với mỗi kết quả của lần 1, lần 2 có \(2\) khả năng xảy ra (Sấp hoặc Ngửa).
- Lần 3: Tương tự, lần 3 có \(2\) khả năng xảy ra (Sấp hoặc Ngửa).
Áp dụng quy tắc nhân, tổng số khả năng xảy ra sau 3 lần gieo là:
\[2 imes 2 imes 2 = 2^3 = 8 ext{ (khả năng)}\]Ghi chú: 8 khả năng cụ thể gồm: \(\{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN\}\).
a) Sự tổ hợp giữa hai gene trên tạo ra mấy kiểu gene? Viết các kiểu gene đó.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên giữa các cá thể, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó (có phân biệt kiểu gene của bố và mẹ)?
a) Các kiểu gene tạo thành từ sự tổ hợp của hai gene \(A\) và \(a\):
- Đồng hợp trội: \(AA\)
- Dị hợp: \(Aa\) (hoặc \(aA\) mang cùng một kiểu gene)
- Đồng hợp lặn: \(aa\)
Như vậy có tất cả 3 kiểu gene là: \(AA, Aa, aa\).
b) Số kiểu giao phối ngẫu nhiên giữa các cá thể (xét vai trò bố và mẹ):
- Công đoạn 1 (Chọn kiểu gene của cá thể bố): có \(3\) cách chọn (\(AA, Aa, aa\)).
- Công đoạn 2 (Chọn kiểu gene của cá thể mẹ): có \(3\) cách chọn (\(AA, Aa, aa\)).
Theo quy tắc nhân, số kiểu giao phối khác nhau là: \(3 imes 3 = 9\) (kiểu giao phối).
Lưu ý: 9 phép lai cụ thể gồm: \(AA \times AA\), \(AA \times Aa\), \(AA \times aa\), \(Aa \times AA\), \(Aa \times Aa\), \(Aa \times aa\), \(aa \times AA\), \(aa \times Aa\), \(aa \times aa\). (Nếu không phân biệt vai trò bố mẹ thì có 6 cặp giao phối).
a) Có 3 chữ số khác nhau?
b) Là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) Là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) Là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử khác nhau thành một hàng là một hoán vị của $n$ phần tử đó.
Số cách sắp xếp là: $P_n = n!$.
Lời giải chi tiết:
Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 bức tranh.
Do đó, số cách xếp là:
$$P_{10} = 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3\,628\,800 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ và $a \neq 0$.
- Bước 1: Chọn chữ số hàng trăm $a$.
- Bước 2: Chọn 2 chữ số còn lại $b, c$ từ 4 chữ số còn lại rồi xếp thứ tự (chỉnh hợp $A_4^2$).
- Áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết:
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a, b, c$ đôi một khác nhau và $a \neq 0$.
- Chọn chữ số $a$: Do $a \neq 0$ nên $a \in \{1, 2, 3, 4\}$, có 4 cách chọn.
- Chọn 2 chữ số $b$ và $c$: Lấy 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại trong tập $\{0, 1, 2, 3, 4\} \setminus \{a\}$ và sắp thứ tự, có $A_4^2 = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên lập được là:
$$4 \times 12 = 48 \text{ (số)}.$$
Chọn đáp án A.
Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $S = \{1, 2, 3, \dots, 99\}$. Số phần tử của tập hợp $S$ là $n = 99$.
- Một tập con gồm $k$ phần tử của tập hợp $n$ phần tử là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó (vì trong tập con không phân biệt thứ tự phần tử).
- Số tập con gồm $k$ phần tử là $C_n^k$.
Lời giải chi tiết:
Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $S = \{1, 2, \dots, 99\}$, có tất cả 99 phần tử.
- Số tập hợp con gồm 2 phần tử của $S$ là:
$$C_{99}^2 = \frac{99!}{2!(99 - 2)!} = \frac{99 \times 98}{2 \times 1} = 4\,851 \text{ (tập hợp)}.$$
- Số tập hợp con gồm 3 phần tử của $S$ là:
$$C_{99}^3 = \frac{99!}{3!(99 - 3)!} = \frac{99 \times 98 \times 97}{3 \times 2 \times 1} = 156\,849 \text{ (tập hợp)}.$$
Chọn đáp án A.
Để chọn ra 2 viên bi có màu khác nhau từ hộp gồm các viên bi xanh và đỏ, ta phải chọn đúng 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ.
Áp dụng quy tắc nhân:
- Bước 1: Chọn 1 viên bi xanh từ 5 viên bi xanh: có $C_5^1 = 5$ cách.
- Bước 2: Chọn 1 viên bi đỏ từ 7 viên bi đỏ: có $C_7^1 = 7$ cách.
Lời giải chi tiết:
Để chọn 2 viên bi có màu khác nhau, ta cần lấy 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ:
- Chọn 1 viên bi màu xanh từ 5 viên bi xanh có $C_5^1 = 5$ cách.
- Chọn 1 viên bi màu đỏ từ 7 viên bi đỏ có $C_7^1 = 7$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 viên bi khác màu là:
$$5 \times 7 = 35 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.
a) Cả 4 bạn được chọn đều là nam?
b) Chọn 4 bạn bất kì không phân biệt nam nữ?
c) Chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) $(x - 3)^4$;
b) $(3x - 2y)^4$.
Áp dụng công thức nhị thức Newton bậc 4:
$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển $(x - 3)^4$:
Đặt $a = x, b = -3$:
$$(x - 3)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot (-3) + 6 \cdot x^2 \cdot (-3)^2 + 4 \cdot x \cdot (-3)^3 + (-3)^4$$ $$= x^4 - 12x^3 + 6 \cdot 9x^2 + 4x \cdot (-27) + 81$$ $$= x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$$
b) Khai triển $(3x - 2y)^4$:
Đặt $a = 3x, b = -2y$:
$$(3x - 2y)^4 = (3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2(-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 + (-2y)^4$$ $$= 81x^4 + 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2y) + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 + 12x \cdot (-8y^3) + 16y^4$$ $$= 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$$
Chọn đáp án A.
c) $(x + 5)^4 + (x - 5)^4$;
d) $(x - 2y)^5$.
Áp dụng công thức nhị thức Newton bậc 4 và bậc 5:
$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$ $$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$
Lời giải chi tiết:
c) Rút gọn $(x + 5)^4 + (x - 5)^4$:
Ta có:
$(x + 5)^4 = x^4 + 4x^3(5) + 6x^2(5^2) + 4x(5^3) + 5^4 = x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625$
$(x - 5)^4 = x^4 - 4x^3(5) + 6x^2(5^2) - 4x(5^3) + 5^4 = x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625$
Cộng hai vế lại, các số hạng bậc lẻ triệt tiêu lẫn nhau:
$$(x + 5)^4 + (x - 5)^4 = 2(x^4 + 150x^2 + 625) = 2x^4 + 300x^2 + 1250$$
d) Khai triển $(x - 2y)^5$:
Đặt $a = x, b = -2y$:
$$(x - 2y)^5 = x^5 + 5x^4(-2y) + 10x^3(-2y)^2 + 10x^2(-2y)^3 + 5x(-2y)^4 + (-2y)^5$$ $$= x^5 - 10x^4y + 10x^3(4y^2) + 10x^2(-8y^3) + 5x(16y^4) - 32y^5$$ $$= x^5 - 10x^4y + 40x^3y^2 - 80x^2y^3 + 80xy^4 - 32y^5$$
Chọn đáp án A.
Trong khai triển $(a + b)^5 = \sum_{k=0}^5 C_5^k a^{5-k} b^k$, số hạng chứa $x^4$ xuất hiện khi lũy thừa của $3x$ là bậc 4 (tức là $5 - k = 4 \implies k = 1$).
Lời giải chi tiết:
Khai triển nhị thức $(3x - 1)^5$ với $a = 3x$ và $b = -1$:
$$(3x - 1)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-1) + 10(3x)^3(-1)^2 + 10(3x)^2(-1)^3 + 5(3x)(-1)^4 + (-1)^5$$ Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển là:
$$5 \cdot (3x)^4 \cdot (-1) = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4$$
Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển là $-405$.
Chọn đáp án A.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1,02^5$ và tìm sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
- Khai triển $(1 + b)^5 = 1 + 5b + 10b^2 + 10b^3 + 5b^4 + b^5$. Lấy hai số hạng đầu: $(1 + b)^5 \approx 1 + 5b$.
- Sai số tuyệt đối: $\Delta = |a - \bar{a}|$ với $a$ là giá trị đúng, $\bar{a}$ là giá trị gần đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Tính giá trị gần đúng:
Áp dụng công thức khai triển với $a = 1, b = 0,02$:
$$(1 + 0,02)^5 \approx 1^5 + 5 \cdot 1^4 \cdot 0,02 = 1 + 0,1 = 1,1$$
b) Tính sai số tuyệt đối:
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có giá trị đúng:
$$1,02^5 = 1,1040808032 \approx 1,10408$$
Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng là:
$$\Delta = |1,1040808032 - 1,1| = 0,0040808032 \approx 0,00408$$
Chọn đáp án A.
a) Công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là $P = 800\left(1 + \frac{r}{100}\right)^5$ (nghìn người).
b) Với $r = 1,5$, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của $(1 + 0,015)^5$, ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
a) Mô tả không gian mẫu $\Omega$.
b) Gọi $A$ là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”. Các biến cố $A$ và $\overline{A}$ là tập con nào của không gian mẫu?
- Số nguyên dương không lớn hơn 30 là các số tự nhiên từ 1 đến 30.
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó (lưu ý số 1 không là số nguyên tố).
- Biến cố đối $\overline{A} = \Omega \setminus A$.
Lời giải chi tiết:
a) Mô tả không gian mẫu:
$$\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 30\}$$
b) Xác định $A$ và $\overline{A}$:
Các số nguyên tố không lớn hơn 30 là: $2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29$. Do đó:
$$A = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29\}$$
Biến cố đối $\overline{A}$ gồm tất cả các số trong $\Omega$ không phải là số nguyên tố (chú ý số 1 thuộc $\overline{A}$):
$$\overline{A} = \{1; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30\}$$
Chọn đáp án A.
a) Mô tả không gian mẫu $\Omega$.
b) Gọi $B$ là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”. Các biến cố $B$ và $\overline{B}$ là các tập con nào của không gian mẫu?
- Các số nguyên dương không lớn hơn 22 là tập hợp các số từ 1 đến 22.
- Tìm các bội của 3 nằm trong khoảng từ 1 đến 22 để xác định biến cố $B$.
- $\overline{B}$ là phần bù của $B$ trong $\Omega$.
Lời giải chi tiết:
a) Không gian mẫu:
$$\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 22\}$$
b) Xác định $B$ và $\overline{B}$:
Các số chia hết cho 3 trong $\Omega$ là: $3; 6; 9; 12; 15; 18; 21$. Do đó:
$$B = \{3; 6; 9; 12; 15; 18; 21\}$$
Biến cố đối $\overline{B}$ gồm các số không chia hết cho 3 trong $\Omega$:
$$\overline{B} = \{1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; 22\}$$
Chọn đáp án A.
a) Không gian mẫu $\Omega$ có bao nhiêu phần tử?
b) Xét các biến cố: $C$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; $D$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”. Số phần tử của biến cố $\overline{C}$ và $\overline{D}$ lần lượt là:
- Mỗi kết quả của phép thử là một cặp $(i, X)$ với $i \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ là số chấm trên xúc xắc và $X \in \{S, N\}$ là mặt của đồng xu.
- Biến cố đối $\overline{C}$ là “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.
- Biến cố đối $\overline{D}$ là “Đồng xu xuất hiện mặt sấp VÀ số chấm trên con xúc xắc KHÁC 5”.
Lời giải chi tiết:
a) Không gian mẫu:
$$\Omega = \{(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S); (1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)\}$$ Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 6 \times 2 = 12$.
b) Xác định $C, \overline{C}, D, \overline{D}$:
- $C = \{(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S)\} \implies n(C) = 6$.
Biến cố đối: $\overline{C} = \{(1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)\} \implies n(\overline{C}) = 6$.
- Biến cố $D$: gồm các kết quả có đồng xu mặt $N$ hoặc xúc xắc 5 chấm:
$$D = \{(1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N); (5, S)\} \implies n(D) = 7$$ - Biến cố đối $\overline{D}$: đồng xu ra mặt sấp và số chấm khác 5:
$$\overline{D} = \{(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (6, S)\} \implies n(\overline{D}) = 12 - 7 = 5$$
Chọn đáp án A.
a) Gọi $H$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ”. Biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” có phải là biến cố $\overline{H}$ hay không?
b) Gọi $K$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”. Biến cố: “Bi lấy ra có màu đen” có phải là biến cố $\overline{K}$ hay không?
Biến cố đối $\overline{E}$ là biến cố “$E$ không xảy ra”. Khi thực hiện phép thử, nếu $E$ xảy ra thì $\overline{E}$ không xảy ra, và ngược lại nếu $E$ không xảy ra thì $\overline{E}$ chắc chắn phải xảy ra.
Lời giải chi tiết:
a) Xét biến cố $H$:
Viên bi lấy ra chỉ có một trong 4 màu: xanh, đỏ, đen, trắng.
Biến cố $H$ xảy ra khi lấy được bi đỏ. Do đó biến cố “$H$ không xảy ra” chính là viên bi lấy ra không có màu đỏ, tức là có màu xanh hoặc màu đen hoặc màu trắng.
Vậy biến cố đó chính là biến cố đối $\overline{H}$.
b) Xét biến cố $K$:
Biến cố $K$ là “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”.
Biến cố đối $\overline{K}$ là “$K$ không xảy ra”, tức là bi lấy ra không phải màu xanh và cũng không phải màu trắng. Như vậy bi lấy ra phải có màu đỏ hoặc màu đen.
Biến cố “Bi lấy ra có màu đen” chưa bao quát trường hợp bi lấy ra có màu đỏ. Do đó, nếu lấy ra bi màu đỏ thì $K$ không xảy ra, nhưng biến cố “Bi lấy ra màu đen” cũng không xảy ra.
Vậy biến cố “Bi lấy ra màu đen” không phải là biến cố đối $\overline{K}$.
Chọn đáp án A.
a) Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc bé hơn 3.
b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5.
- Số phần tử không gian mẫu: Mỗi con xúc xắc có 6 mặt $\implies n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.
- Xác suất cổ điển: $P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$.
Lời giải chi tiết:
a) Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc bé hơn 3:
Mỗi con xúc xắc bé hơn 3 nghĩa là số chấm chỉ có thể là 1 hoặc 2 (2 khả năng).
Số kết quả thuận lợi là: $n(A) = 2 \times 2 = 4$ (gồm các cặp $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$).
Xác suất là: $$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$
b) Số chấm trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5:
Xúc xắc của An lớn hơn hoặc bằng 5 nghĩa là An gieo được 5 hoặc 6 (2 khả năng).
Xúc xắc của Bình nhận bất kì giá trị nào từ 1 đến 6 (6 khả năng).
Số kết quả thuận lợi là: $n(B) = 2 \times 6 = 12$.
Xác suất là: $$P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$
Chọn đáp án A.
a) Tính xác suất biến cố $A$: “Con đầu là gái”.
b) Tính xác suất biến cố $B$: “Có ít nhất một người con trai”.
- Kí hiệu $T$ là con trai, $G$ là con gái. Mỗi người con có 2 khả năng giới tính $\implies n(\Omega) = 2^3 = 8$.
- Xác suất biến cố đối: $P(B) = 1 - P(\overline{B})$.
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu gồm 8 phần tử:
$$\Omega = \{\text{TTT; TTG; TGT; TGG; GTT; GTG; GGT; GGG}\}$$
a) Biến cố $A$: “Con đầu là gái”:
$$A = \{\text{GTT; GTG; GGT; GGG}\} \implies n(A) = 4$$ $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
b) Biến cố $B$: “Có ít nhất một người con trai”:
Biến cố đối $\overline{B}$: “Cả ba người con đều là gái” $\implies \overline{B} = \{\text{GGG}\} \implies n(\overline{B}) = 1$.
$$P(\overline{B}) = \frac{1}{8} \implies P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
Chọn đáp án A.
a) $C$: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;
b) $D$: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.
- Từ 10 đến 20 có $20 - 10 + 1 = 11$ tấm thẻ. Rút 2 tấm thẻ bất kì $\implies n(\Omega) = C_{11}^2 = 55$.
- Phân loại thẻ: có 5 thẻ số lẻ $\{11; 13; 15; 17; 19\}$ và 6 thẻ số chẵn $\{10; 12; 14; 16; 18; 20\}$.
Lời giải chi tiết:
a) Tính $P(C)$:
Chọn 2 thẻ số lẻ từ 5 thẻ số lẻ có: $n(C) = C_5^2 = 10$ cách.
$$P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$$
b) Tính $P(D)$:
Chọn 2 thẻ số chẵn từ 6 thẻ số chẵn có: $n(D) = C_6^2 = 15$ cách.
$$P(D) = \frac{n(D)}{n(\Omega)} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$$
Chọn đáp án A.
- Tổng số bi trong hộp: $6 + 4 + 2 = 12$ viên bi.
- Số phần tử không gian mẫu: chọn 6 viên từ 12 viên $\implies n(\Omega) = C_{12}^6 = 924$.
- Áp dụng quy tắc nhân để đếm số cách chọn từng loại bi.
Lời giải chi tiết:
Gọi $E$ là biến cố: “Trong 6 viên bi có 3 viên trắng, 2 viên đỏ và 1 viên đen”.
Số cách chọn thuận lợi gồm 3 công đoạn: - Chọn 3 bi trắng từ 6 bi trắng: $C_6^3 = 20$ cách. - Chọn 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ: $C_4^2 = 6$ cách. - Chọn 1 bi đen từ 2 bi đen: $C_2^1 = 2$ cách.
Theo quy tắc nhân: $$n(E) = C_6^3 \times C_4^2 \times C_2^1 = 20 \times 6 \times 2 = 240$$
Xác suất của biến cố $E$ là: $$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{240}{924} = \frac{20}{77}$$
Chọn đáp án A.
a) Tính xác suất biến cố $F$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.
b) Tính xác suất biến cố $G$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.
- Không gian mẫu $\Omega$ gồm các cặp $(i, X)$ với $i \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ và $X \in \{S, N\} \implies n(\Omega) = 6 \times 2 = 12$.
- Biến cố $G$ là hợp của hai trường hợp: mặt sấp hoặc mặt 5 chấm.
Lời giải chi tiết:
a) Biến cố $F$: “Đồng xu ra mặt ngửa”:
$$F = \{(1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)\} \implies n(F) = 6$$ $$P(F) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$
b) Biến cố $G$: “Đồng xu ra mặt sấp HOẶC xúc xắc 5 chấm”:
- Các kết quả đồng xu ra mặt sấp: $(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S)$ (6 kết quả).
- Kết quả xúc xắc 5 chấm nhưng đồng xu ra mặt ngửa: $(5, N)$ (1 kết quả).
Do đó $n(G) = 6 + 1 = 7$.
$$P(G) = \frac{7}{12}$$
Chọn đáp án A.
- Mỗi bạn có 2 sự lựa chọn (quán X hoặc Y) $\implies n(\Omega) = 2^3 = 8$.
- Chọn 2 trong 3 bạn vào quán X có $C_3^2$ cách.
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu gồm 8 kết quả:
$$\Omega = \{\text{XXX; XXY; XYX; XYY; YXX; YXY; YYX; YYY}\} \implies n(\Omega) = 8$$
Gọi $E$ là biến cố: “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”.
Các kết quả thuận lợi có đúng 2 chữ X và 1 chữ Y là:
$$E = \{\text{XXY; XYX; YXX}\} \implies n(E) = 3$$
Xác suất của biến cố $E$ là: $$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{3}{8}$$
Chọn đáp án A.
• Bước 1: Bình phương hai vế để được phương trình hệ quả $f(x) = g(x)$ rồi giải tìm nghiệm.
• Bước 2: Thay các nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu để thử lại và kết luận nghiệm chính thức (loại nghiệm làm cho biểu thức trong căn bị âm).
$$3x^2 - 4x - 1 = 2x^2 - 4x + 3 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$$
Thử lại vào phương trình ban đầu:
• Với $x = 2$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{3(4) - 8 - 1} = \sqrt{3}$ (thoả mãn).
• Với $x = -2$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{3(4) + 8 - 1} = \sqrt{19}$ (thoả mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2; 2\}$.
$$2x^2 - 3x - 5 = x^2 - 7 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \ x &= 2 \end{aligned}\right.$$
Thử lại:
• Với $x = 1$: Biểu thức ở vế phải là $x^2 - 7 = 1 - 7 = -6 < 0$ (loại vì không thoả mãn điều kiện xác định).
• Với $x = 2$: Biểu thức ở vế phải là $x^2 - 7 = 4 - 7 = -3 < 0$ (loại).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, tức là có $0$ nghiệm.
$$2x^2 - 4x + 1 = x^2 + x - 5 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 2 \ x &= 3 \end{aligned}\right.$$
Thử lại:
• Với $x = 2$: Cả hai vế đều bằng $\sqrt{1} = 1$ (nhận).
• Với $x = 3$: Cả hai vế đều bằng $\sqrt{7}$ (nhận).
Do đó phương trình có 2 nghiệm $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$. Tổng các nghiệm là $2 + 3 = 5$.
$$2x^2 - 5x - 9 = (x - 1)^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 5x - 9 = x^2 - 2x + 1$$
$$\Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 5 \ x &= -2 \end{aligned}\right.$$
Thử lại:
• Với $x = 5$: Vế trái $\sqrt{2(25) - 25 - 9} = \sqrt{16} = 4$; Vế phải $5 - 1 = 4$ (thoả mãn).
• Với $x = -2$: Vế phải bằng $-2 - 1 = -3 < 0$, trong khi vế trái $\ge 0$ (loại nghiệm ngoại lai).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 5$.
$$-x^2 + 4x - 3 = (x - 1)^2 \Leftrightarrow -x^2 + 4x - 3 = x^2 - 2x + 1$$
$$\Leftrightarrow 2x^2 - 6x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \ x &= 2 \end{aligned}\right.$$
Thử lại:
• Với $x = 1$: Hai vế cùng bằng $0$ (thoả mãn).
• Với $x = 2$: Vế trái $\sqrt{-4 + 8 - 3} = 1$, vế phải $2 - 1 = 1$ (thoả mãn).
Cả hai giá trị đều là nghiệm. Vậy phương trình có đúng $2$ nghiệm.
$$3x^2 - 9x + 7 = (x - 2)^2 \Leftrightarrow 3x^2 - 9x + 7 = x^2 - 4x + 4$$
$$\Leftrightarrow 2x^2 - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \ x &= \frac{3}{2} \end{aligned}\right.$$
Thử lại:
• Với $x = 1$: Vế phải bằng $1 - 2 = -1 < 0$ (loại).
• Với $x = \frac{3}{2}$: Vế phải bằng $\frac{3}{2} - 2 = -0{,}5 < 0$ (loại).
Vì vế trái căn bậc hai luôn không âm còn vế phải âm nên cả hai giá trị đều bị loại. Vậy phương trình vô nghiệm.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!