Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc
Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Hai mặt phẳng vuông góc (Toán 11 KNTT)
Nắm vững góc giữa hai mặt phẳng, điều kiện và tính chất hai mặt phẳng vuông góc, góc nhị diện, các hình lăng trụ đặc biệt (đứng, đều, hộp chữ nhật, lập phương), hình chóp đều và hình chóp cụt đều theo chuẩn SGK Kết nối tri thức.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Kinh độ & Vĩ độ trên Trái Đất
Ta có thể gắn cho mỗi vị trí trên Trái Đất một cặp số, được gọi là vĩ độ và kinh độ. Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ và kinh độ của nó.
Sau bài học này, chúng ta sẽ làm quen với khái niệm góc nhị diện, hai mặt phẳng vuông góc, để hiểu và diễn đạt một cách chính xác ngôn ngữ toán học đằng sau hệ toạ độ địa lí toàn cầu!
1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
HĐ1 (Khám phá góc giữa hai mặt phẳng):
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Lấy hai đường thẳng $a, a'$ cùng vuông góc với $(P)$, hai đường thẳng $b, b'$ cùng vuông góc với $(Q)$. Tìm mối quan hệ giữa các góc $(a, b)$ và $(a', b')$.
Trả lời: Vì $a, a' \perp (P) \implies a \parallel a'$ (hoặc $a \equiv a'$); tương tự $b \parallel b'$ (hoặc $b \equiv b'$). Theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa $a$ và $b$ bằng góc giữa $a'$ và $b'$.
Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
- Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Lấy các đường thẳng $a, b$ tương ứng vuông góc với $(P), (Q)$. Khi đó, góc giữa $a$ và $b$ không phụ thuộc vào vị trí của $a, b$ và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
- Kí hiệu: $((P), (Q))$. Nếu $\varphi = ((P), (Q))$ thì: $$0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$$
- Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$, kí hiệu $(P) \perp (Q)$.
Ví dụ 1 (SGK trang 45):
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$. Lấy một điểm $O$ bất kì thuộc đường thẳng $\Delta$. Gọi $m, n$ là các đường thẳng đi qua $O$, tương ứng thuộc $(P), (Q)$ và vuông góc với $\Delta$. Chứng minh rằng góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa $m$ và $n$.
Giải:
Trong mặt phẳng chứa $m, n$, lấy một điểm $E$ không thuộc các đường thẳng $m, n$. Gọi $A, B$ tương ứng là hình chiếu của $E$ trên $m, n$. Khi đó $\Delta \perp EA, EB \implies \Delta \perp (EAB)$.
Do $EA \perp m, EA \perp \Delta$ nên $EA \perp (P)$. Tương tự $EB \perp n, EB \perp \Delta$ nên $EB \perp (Q)$. Do đó, góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa $EA$ và $EB$.
Do $\widehat{OAE} = 90^\circ = \widehat{OBE}$ nên bốn điểm $O, A, E, B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $OE$. Do đó, $\widehat{AOB}$ và $\widehat{AEB}$ bằng hoặc bù nhau, tức là $(EA, EB) = (m, n)$.
Vậy góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa $m$ và $n$.
Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$.
Lấy hai đường thẳng $m, n$ tương ứng thuộc $(P), (Q)$ và cùng vuông góc với $\Delta$ tại một điểm $O$ (nói cách khác, lấy một mặt phẳng $(\alpha) \perp \Delta$, cắt $(P), (Q)$ tương ứng theo các giao tuyến $m, n$).
Khi đó: $((P), (Q)) = (m, n)$.
Đặc biệt, $(P) \perp (Q) \iff m \perp n$.
Luyện tập 1 (SGK trang 45):
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là một hình chữ nhật có tâm $O$, $SO \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $ABCD$ là một hình vuông.
- Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.
- Vì $SO \perp (ABCD)$, ta có $SO \perp AC$ (với $AC \subset (SAC)$) và $SO \perp BD$ (với $BD \subset (SBD)$).
- Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$.
- Như vậy, $(SAC) \perp (SBD) \iff AC \perp BD$. Mặt khác, hình chữ nhật $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi nó là hình vuông. (đpcm)
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
HĐ2:
Cho mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $b$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$. Lấy một đường thẳng $a$ vuông góc với $(P)$ (Hình 7.47).
a) Tính góc giữa $a$ và $b$.
b) Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.
Trả lời:
a) Vì $a \perp (P)$ mà $b \subset (P) \implies a \perp b$, do đó $(a, b) = 90^\circ$.
b) Ta có $a \perp (P)$ và $b \perp (Q)$. Theo định nghĩa, góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa $a$ và $b$, tức là bằng $90^\circ$. Do đó $(P) \perp (Q)$.
Định lý (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)
Ví dụ 2 (SGK trang 45):
Cho tứ diện $OABC$ có $OA$ vuông góc với $OB$ và $OC$. Chứng minh rằng các mặt phẳng $(OAB)$ và $(OAC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(OBC)$.
Do $OA \perp OB$ và $OA \perp OC$ (hai đường thẳng cắt nhau trong $(OBC)$) nên $OA \perp (OBC)$.
Mặt khác, các mặt phẳng $(OAB)$ và $(OAC)$ đều chứa đường thẳng $OA$. Do đó theo định lý trên, chúng cùng vuông góc với mặt phẳng $(OBC)$.
Luyện tập 2 (Ứng dụng bản lề cửa phòng):
Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.
3. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
HĐ3 & Định lý Tính chất 1:
Cho $(P) \perp (Q)$. Kẻ đường thẳng $a \subset (P)$ và vuông góc với giao tuyến $\Delta = (P) \cap (Q)$. Trong $(Q)$, kẻ $b \perp \Delta$ tại giao điểm $O = a \cap \Delta$.
Vì $(P) \perp (Q)$ nên góc giữa $a$ và $b$ bằng $90^\circ \implies a \perp b$. Lại có $a \perp \Delta$ nên $a$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $b$ và $\Delta$ của $(Q)$, suy ra $a \perp (Q)$.
Định lý (Tính chất 1):
"Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia."
HĐ4 & Định lý Tính chất 2 (Giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc):
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $a$ và cùng vuông góc với mặt phẳng $(R)$.
Gọi $O$ là một điểm thuộc $a$, kẻ $a'$ qua $O$ vuông góc với $(R)$. Theo nhận xét ở trên, vì $(P) \perp (R)$ và $(Q) \perp (R)$ nên $a' \subset (P)$ và $a' \subset (Q) \implies a' \equiv (P) \cap (Q) = a$. Do đó $a \perp (R)$.
Định lý (Tính chất 2):
"Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó."
Ví dụ 3 (SGK trang 46):
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $B', C', D'$ tương ứng là hình chiếu của $A$ trên $SB, SC, SD$. Chứng minh rằng:
a) $(SBC) \perp (SAB)$, $AB' \perp (SBC)$, $AD' \perp (SCD)$.
b) Các điểm $A, B', C', D'$ cùng thuộc một mặt phẳng.
a) Vì $BC \perp SA$ và $BC \perp AB \implies BC \perp (SAB)$. Do đó $(SBC) \perp (SAB)$.
Đường thẳng $AB' \subset (SAB)$ và vuông góc với giao tuyến $SB$ nên theo Tính chất 1: $AB' \perp (SBC)$. Tương tự $AD' \perp (SCD)$.
b) Vì $AB' \perp (SBC) \implies AB' \perp SC$. Vì $AD' \perp (SCD) \implies AD' \perp SC$. Lại có $AC' \perp SC$.
Như vậy ba đường thẳng $AB', AC', AD'$ cùng đi qua $A$ và cùng vuông góc với $SC$ nên chúng cùng thuộc một mặt phẳng (mặt phẳng qua $A$ vuông góc $SC$). Vậy bốn điểm $A, B', C', D'$ đồng phẳng!
Luyện tập 3 (SGK trang 47):
Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng $(AB'C'D')$ và $(ABCD)$ cùng vuông góc với $(SAC)$;
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(AB'C'D')$ và $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua $A$, nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và vuông góc với $AC$.
a) Theo câu b của Ví dụ 3, $SC \perp (AB'C'D')$. Mà $SC \subset (SAC) \implies (AB'C'D') \perp (SAC)$. Mặt khác, $SA \perp (ABCD)$ mà $SA \subset (SAC) \implies (ABCD) \perp (SAC)$.
b) Hai mặt phẳng $(AB'C'D')$ và $(ABCD)$ cùng vuông góc với $(SAC)$, nên giao tuyến $d$ của chúng phải vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$ (theo Tính chất 2). Vì $A$ là điểm chung của hai mặt phẳng nên $d$ đi qua $A$, nằm trong $(ABCD)$ và vuông góc với mọi đường thẳng trong $(SAC)$ qua $A$, đặc biệt $d \perp AC$. (đpcm)
4. Góc nhị diện
HĐ5 (Góc mở ghế bàn ăn):
Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ $100^\circ$ đến $105^\circ$. Trong Hình 7.51, các tia $Ox, Oy$ được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến $a$ của mặt ghế và lưng ghế.
a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ $100^\circ$ đến $105^\circ$?
b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?
Trả lời:
a) Góc $\widehat{xOy}$ nên có số đo từ $100^\circ$ đến $105^\circ$.
b) Vì góc giữa hai mặt phẳng không vượt quá $90^\circ$, nên góc giữa hai mặt phẳng chứa mặt ghế và lưng ghế là góc bù với $\widehat{xOy}$, tức là từ $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ đến $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Định nghĩa Góc nhị diện & Góc phẳng nhị diện
Góc nhị diện: Hình gồm hai nửa mặt phẳng $(P), (Q)$ có chung bờ $a$ được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là $[P, a, Q]$. Đường thẳng $a$ gọi là cạnh, các nửa mặt phẳng $(P), (Q)$ gọi là các mặt của góc nhị diện.
![Hình 7.52: Góc nhị diện [P, a, Q]](images/lop11_b25_h752_goc_nhi_dien.png)
Góc phẳng của góc nhị diện: Từ một điểm $O$ bất kì thuộc cạnh $a$ của góc nhị diện $[P, a, Q]$, vẽ các tia $Ox, Oy$ tương ứng thuộc $(P), (Q)$ và vuông góc với $a$.
Góc $\widehat{xOy}$ được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện $[P, a, Q]$ (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc $\widehat{xOy}$ không phụ thuộc vào vị trí của $O$ trên $a$, được gọi là số đo của góc nhị diện $[P, a, Q]$.
- Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $0^\circ$ đến $180^\circ$. Góc nhị diện được gọi là nhọn, vuông, tù nếu số đo tương ứng nhỏ hơn, bằng, lớn hơn $90^\circ$.
- Đối với hai điểm $M, N$ không thuộc đường thẳng $a$, ta kí hiệu $[M, a, N]$ là góc nhị diện có cạnh $a$ và các mặt tương ứng chứa $M, N$.
- Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành 4 góc nhị diện. Nếu một góc nhị diện vuông thì 3 góc còn lại cũng vuông.
Ví dụ 4 (SGK trang 48):
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thoi có cạnh bằng $a$, $AC = a, SA = \frac{a}{2}$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình thoi $ABCD$ và $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SC$.
a) Tính số đo của các góc nhị diện $[B, SA, D]$; $[S, BD, A]$; $[S, BD, C]$.
b) Chứng minh rằng $\widehat{BHD}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[B, SC, D]$.
a) Vì $SA \perp (ABCD) \implies AB \perp SA$ và $AD \perp SA$. Vậy $\widehat{BAD}$ là góc phẳng của $[B, SA, D]$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Do đó $[B, SA, D] = 120^\circ$.
Lại có $BD \perp AC$ và $BD \perp SA \implies BD \perp (SAC) \implies OA \perp BD$ và $OS \perp BD$. Do đó $\widehat{AOS}$ là góc phẳng của $[S, BD, A]$, $\widehat{COS}$ là góc phẳng của $[S, BD, C]$.
Trong tam giác vuông $SAO$: $SA = \frac{a}{2} = AO \implies \triangle SAO$ vuông cân tại $A \implies \widehat{AOS} = 45^\circ$.
Suy ra $\widehat{COS} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
b) Vì $BD \perp (SAC) \implies BD \perp SC$. Mà $OH \perp SC \implies SC \perp (BHD)$. Do đó $HB \perp SC$ và $HD \perp SC$. Vậy $\widehat{BHD}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[B, SC, D]$.
Luyện tập 4 (SGK trang 48):
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$, $SA = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[S, BC, A]$.
b) Tính số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$.
a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM \perp BC$.
Lại có $SA \perp BC$ (do $SA \perp (ABC)$). Suy ra $BC \perp (SAM) \implies BC \perp SM$.
Vì $AM \perp BC$ và $SM \perp BC$ tại $M$ nên $\widehat{SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[S, BC, A]$.
b) Trong tam giác cân $ABC$: $AM = AB \cdot \cos 60^\circ = \frac{a}{2}$.
Trong tam giác vuông $SAM$ tại $A$: $\tan \widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a/(2\sqrt{3})}{a/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \widehat{SMA} = 30^\circ$.
Vậy số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$ bằng $30^\circ$.
Vận dụng 1: Cửa sổ bán nguyệt (H.7.56)
Cánh và khung cửa là các nửa hình tròn bán kính $R = 40\text{ cm}$. Bản lề đính tại đỉnh chính giữa $O$. Khi mở cửa khoảng cách giữa hai đường kính là $d = 40\text{ cm}$.
Tính số đo: Điểm $A, M$ tương ứng trên đường kính cánh và khung cách tâm $O$ một đoạn $R = 40\text{ cm}$. Khoảng cách $AM = d = 40\text{ cm} = R$. Do đó tam giác hình chiếu cân tạo thành tam giác đều cạnh $40\text{ cm} \implies$ góc nhị diện bằng $60^\circ$.
Kinh độ & Vĩ độ Trái Đất (H.7.57)
Kinh độ ($\lambda$): là số đo của góc nhị diện có hai mặt tương ứng chứa kinh tuyến gốc (Greenwich) và kinh tuyến đi qua $P$ (cạnh nhị diện là trục Trái Đất nối 2 cực Bắc - Nam).
Vĩ độ ($\theta$): là góc giữa mặt phẳng Xích đạo và đường thẳng nối $P$ với tâm Trái Đất.
Bia Chủ quyền Đảo Song Tử Tây (Trường Sa, Khánh Hoà): $11^\circ 25' 55''\text{N}, 114^\circ 8' 00''\text{E}$.
5. Một số hình lăng trụ đặc biệt
a) Hình lăng trụ đứng
Có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
b) Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
c) Hình hộp đứng
Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
d) Hình hộp chữ nhật
Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Ví dụ 5 (SGK trang 50):
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng $ACC'A'$ là một hình chữ nhật.
Giải: $AA' = CC'$ và $AA' \parallel CC'$ (cùng bằng và song song với $DD'$). Do đó $ACC'A'$ là hình bình hành. Lại có $AA' \perp (A'B'C'D') \implies AA' \perp A'C'$. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. (đpcm)
e) Hình lập phương:
Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Tính chất: Cả 6 mặt của hình lập phương đều là các hình vuông có cùng diện tích.
Ví dụ 6 (SGK trang 50):
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng $A'BD$ là tam giác đều.
Giải: Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Ta có:
$A'D = \sqrt{AA'^2 + AD^2} = a\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = a\sqrt{2}$
$A'B = \sqrt{AA'^2 + AB^2} = a\sqrt{2}$
Ba cạnh bằng nhau nên tam giác $A'BD$ đều. (đpcm)
Vận dụng 2: Gập tấm tôn làm thùng (H.7.65)
Từ một tấm tôn hình chữ nhật, cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc và gập dựng các mép lên vuông góc với đáy. Do đáy là hình chữ nhật và các mặt bên là hình chữ nhật vuông góc với đáy nên chiếc thùng tạo thành là một hình hộp chữ nhật không nắp.
6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
HĐ11 (Kim tự tháp Bảo tàng Louvre):
Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông cạnh $34\text{ m}$, các cạnh bên bằng nhau và xấp xỉ $32{,}3\text{ m}$.
Giải thích: Vì đỉnh $S$ cách đều bốn đỉnh của đáy ($SA = SB = SC = SD$) nên hình chiếu $O$ của $S$ lên đáy phải cách đều bốn đỉnh của đáy: $OA = OB = OC = OD$. Trong hình vuông, điểm duy nhất cách đều bốn đỉnh chính là giao điểm hai đường chéo, tức là tâm của hình vuông đáy.
Khái niệm Hình chóp đều
"Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau."
Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau. Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau; góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau.
Ví dụ 7 (SGK trang 51):
Chứng minh rằng hình chóp là đều $\iff$ đáy là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
Chứng minh: Các tam giác vuông $SOA_i$ có chung cạnh góc vuông $SO$. Do đó $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n \iff \widehat{SA_1O} = \widehat{SA_2O} = ... = \widehat{SA_nO}$ (cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau). (đpcm)
Luyện tập 5 (SGK trang 51):
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$, cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{\frac{5}{12}}$. Tính số đo của góc nhị diện $[S, BC, A]$.
Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $OM = \frac{1}{3}AM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, $OA = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{12} - \frac{a^2}{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Góc phẳng nhị diện $[S, BC, A]$ là $\widehat{SMO}$.
$\tan \widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a/(2\sqrt{3})}{a\sqrt{3}/6} = \frac{6}{6} = 1 \implies \widehat{SMO} = 45^\circ$.
Hình chóp cụt đều
- Cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy ta được hình chóp cụt đều.
- Hai mặt đáy là hai đa giác đều đồng dạng nằm trong hai mặt phẳng song song.
- Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau.
- Các cạnh bên có độ dài bằng nhau.
- Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều; độ dài của nó là chiều cao. Đường cao vuông góc với cả hai mặt đáy.
Ví dụ 8 (Tính cạnh bên hình chóp cụt đều - SGK trang 52):
Cho hình chóp cụt đều $ABC.A'B'C'$ có chiều cao bằng $h$, các đáy là tam giác đều có cạnh tương ứng là $a, a' (a > a')$. Tính độ dài các cạnh bên.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hai đáy:
$HA = \frac{a}{\sqrt{3}}, \quad H'A' = \frac{a'}{\sqrt{3}}$.
Hình thang $AHH'A'$ vuông tại $H$ và $H'$. Kẻ $A'M \perp HA \implies A'M = HH' = h$ và $MA = HA - H'A' = \frac{a - a'}{\sqrt{3}}$.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $A'MA$:
$$AA' = \sqrt{A'M^2 + MA^2} = \sqrt{h^2 + \frac{(a - a')^2}{3}}$$
Sơ đồ tư duy & Ghi nhớ cốt lõi Bài 25
- Tìm một đường thẳng $d \subset (P)$ sao cho $d \perp (Q)$.
- Hoặc tính góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^\circ$.
- $(P) \perp (Q)$, $d \subset (P), d \perp \Delta \implies d \perp (Q)$.
- $(P) \perp (R), (Q) \perp (R) \implies$ giao tuyến $\Delta \perp (R)$.
- Xác định 2 tia cùng vuông góc cạnh nhị diện $\implies$ góc phẳng $\widehat{xOy}$.
- Lăng trụ đứng: cạnh bên $\perp$ đáy.
- Chóp đều: đáy đều + đỉnh chiếu vào tâm đáy.
1) Vì $SA \perp (ABC)$ mà $SA \subset (SAB) \implies (SAB) \perp (ABC)$ (theo định lý điều kiện vuông góc).
2) Ta có $BC \perp AH$ (do $H$ là hình chiếu của $A$) và $BC \perp SA$ (do $SA \perp (ABC)$). Suy ra $BC \perp (SAH)$.
Vì mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường thẳng $BC \perp (SAH)$ nên $(SAH) \perp (SBC)$.
Vậy mệnh đề đúng là A.
1) $AA' \perp (A'B'C'D')$ mà $AA' \subset (ACC'A') \implies (ACC'A') \perp (A'B'C'D')$.
2) Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BD \perp AC$. Lại có $BD \perp AA'$ (do $AA' \perp (ABCD)$). Suy ra $BD \perp (ACC'A')$.
Vì $BD \subset (BDD'B')$ nên $(BDD'B') \perp (ACC'A')$.
Do đó $(ACC'A')$ vuông góc với cả $(A'B'C'D')$ và $(BDD'B')$.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 5 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!