Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết trọng tâm về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Khái niệm hệ BPT và nghiệm của hệ, quy trình biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng toạ độ Oxy bằng phương pháp gạch bỏ, định lí tối ưu tuyến tính tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = ax + by trên miền đa giác lồi, và toàn bộ lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 2.4, 2.5, 2.6 trang 30).
BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 26 - 30)
THUẬT NGỮ CỐT LÕI
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Miền đa giác (tam giác, tứ giác)
- Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức trên miền đa giác
KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT
- Nhận biết được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Biết biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.
- Biết tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất $F(x; y) = ax + by$ trên một miền đa giác.
- Vận dụng kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết các bài toán tối ưu thực tiễn (kinh doanh, chi phí, dinh dưỡng).
TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (TRANG 26)
Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng ($1\,200$ triệu đồng).
| Tiêu chí | Điều hoà hai chiều | Điều hoà một chiều |
|---|---|---|
| Giá mua vào | 20 triệu đồng / máy | 10 triệu đồng / máy |
| Lợi nhuận dự kiến | 3,5 triệu đồng / máy | 2 triệu đồng / máy |
Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá $100$ máy cả hai loại.
Câu hỏi đặt ra: Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
KẾ HOẠCH KINH DOANH TỐI ƯU
Gọi $x, y$ lần lượt là số máy điều hoà hai chiều và một chiều cần nhập.
1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HĐ1 Phân tích tình huống mở đầu
Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập ($x, y \in \mathbb{N}$). Khi đó:
- a) Do nhu cầu của thị trường không quá $100$ máy nên $x$ và $y$ cần thoả mãn điều kiện gì?
- b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng ($1\,200$ triệu đồng) nên $x$ và $y$ phải thoả mãn điều kiện gì?
- c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo $x$ và $y$.
a) Nhu cầu không quá $100$ máy nên: $x + y \le 100$ (kèm theo $x \ge 0, y \ge 0$).
b) Số vốn đầu tư: $20x + 10y \le 1\,200 \iff 2x + y \le 120$.
c) Số tiền lãi thu được là: $F(x; y) = 3{,}5x + 2y$ (triệu đồng).
Như vậy, $x$ và $y$ trong HĐ1 phải đồng thời thoả mãn một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta gọi đó là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
ĐỊNH NGHĨA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.
Ví dụ 1 (SGK tr. 27)
Nhận biết & Kiểm tra nghiệmCho hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 150 \end{cases}$$
a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Kiểm tra xem cặp số $(x; y) = (0; 0)$ có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không.
Lời giải:
a) Hệ bất phương trình đã cho gồm ba bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ ($x \ge 0; y \ge 0; x + y \le 150$). Do đó, đây là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ:
• $0 \ge 0$ (đúng);
• $0 \ge 0$ (đúng);
• $0 + 0 = 0 \le 150$ (đúng).
Vì cặp số $(0; 0)$ thoả mãn cả ba bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
Viết hệ bất phương trình và chỉ ra nghiệm
Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn $x, y$ và chỉ ra một nghiệm của hệ này.
Hệ bất phương trình hai ẩn $x, y$ mô tả điều kiện kinh doanh của cửa hàng là: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 100 \\ 2x + y \le 120 \end{cases}$$ Chỉ ra một nghiệm: Chọn cặp $(x; y) = (20; 50)$.
Kiểm tra: $20 \ge 0$ (đúng), $50 \ge 0$ (đúng), $20 + 50 = 70 \le 100$ (đúng), $2(20) + 50 = 90 \le 120$ (đúng).
Vậy $(20; 50)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình (tương ứng nhập 20 máy hai chiều và 50 máy một chiều).
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HĐ2 Khám phá miền nghiệm của hệ ba bất phương trình
Cho đường thẳng $d: x + y = 150$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Đường thẳng này cắt hai trục toạ độ $Ox$ và $Oy$ tại hai điểm $A(150; 0)$ và $B(0; 150)$.
- a) Xác định các miền nghiệm $D_1, D_2, D_3$ của các bất phương trình tương ứng $x \ge 0; y \ge 0$ và $x + y \le 150$.
- b) Miền tam giác $OAB$ (H.2.5) có phải là giao của các miền $D_1, D_2$ và $D_3$ hay không?
- c) Lấy một điểm trong tam giác $OAB$ (chẳng hạn $(1; 2)$) hoặc một điểm trên cạnh của tam giác (chẳng hạn $(1; 149)$) và kiểm tra xem toạ độ các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 150 \end{cases}$$
MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Ví dụ 2 (SGK tr. 27 - 28)
Biểu diễn miền nghiệmBiểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: $$\begin{cases} 7x + 4y \le 2\,400 \\ x + y \le 100 \\ x \ge 0 \end{cases}$$
Các bước thực hiện (H.2.6):
Bước 1. Xác định miền nghiệm $D_1$ của bất phương trình $7x + 4y \le 2\,400$ và gạch bỏ miền còn lại:
• Vẽ đường thẳng $d: 7x + 4y = 2\,400$ qua $(0; 600)$ và $(\frac{2400}{7}; 0) \approx (342{,}9; 0)$.
• Vì $7(0) + 4(0) = 0 \le 2\,400$ nên miền chứa gốc toạ độ $O(0; 0)$ là miền nghiệm. Ta gạch bỏ phần nửa mặt phẳng không chứa gốc $O$.
Bước 2. Tương tự, miền nghiệm $D_2$ của bất phương trình $x + y \le 100$ là nửa mặt phẳng bờ $d': x + y = 100$ (qua $(100; 0)$ và $(0; 100)$) chứa gốc toạ độ $O$. Gạch bỏ phần không chứa $O$.
Bước 3. Miền nghiệm $D_3$ của bất phương trình $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $(1; 0)$ (phía bên phải trục $Oy$). Gạch bỏ phần bên trái trục $Oy$.
Kết luận: Miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong Hình 2.6.
CÁCH XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ
- Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
- Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
CHÚ Ý VỀ ĐƯỜNG BIÊN
Nếu bất phương trình chứa dấu ngặt ($<$ hoặc $>$), thì đường biên không thuộc miền nghiệm và được vẽ bằng nét đứt. Nếu chứa dấu $\le$ hoặc $\ge$, đường biên thuộc miền nghiệm và vẽ bằng nét liền.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ có dấu ngặt
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y > 0 \\ x + y \le 100 \\ 2x + y < 120 \end{cases}$$
- Vẽ $Oy: x = 0$ (nét liền); lấy nửa mặt phẳng bên phải ($x \ge 0$).
- Vẽ $Ox: y = 0$ (nét đứt); lấy nửa mặt phẳng phía trên ($y > 0$).
- Vẽ $d_1: x + y = 100$ (nét liền) qua $(100; 0)$ và $(0; 100)$; lấy nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ $O$.
- Vẽ $d_2: 2x + y = 120$ (nét đứt) qua $(60; 0)$ và $(0; 120)$; lấy nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ $O$.
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y = 100 \\ 2x + y = 120 \end{cases} \implies B(20; 80)$.
Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với $O(0; 0), A(0; 100), B(20; 80), C(60; 0)$, không kể đoạn $OC$ (trục $Ox$) và không kể đoạn $BC$ (thuộc $d_2$).
3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HĐ3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền tam giác
Xét biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ với $(x; y)$ thuộc miền tam giác $OAB$ ở HĐ2 với toạ độ ba đỉnh là $O(0; 0), A(150; 0)$ và $B(0; 150)$ (H.2.5).
- a) Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại mỗi đỉnh $O, A$ và $B$.
- b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ $x$ và tung độ $y$ của điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ trên miền tam giác $OAB$.
- c) Nêu nhận xét về tổng $x + y$ của điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ trên miền tam giác $OAB$.
a) $F(0; 0) = 0$; $F(150; 0) = 2(150) + 3(0) = 300$; $F(0; 150) = 2(0) + 3(150) = 450$.
b) Mọi điểm thuộc miền tam giác đều có $x \ge 0, y \ge 0 \implies F(x; y) = 2x + 3y \ge 0$. Do $F(0; 0) = 0$ nên giá trị nhỏ nhất là $0$ tại $O(0; 0)$.
c) Mọi điểm thuộc miền tam giác đều có $x + y \le 150$ và $y \le 150$, do đó $F(x; y) = 2(x + y) + y \le 2(150) + 150 = 450$. Do $F(0; 150) = 450$ nên giá trị lớn nhất là $450$ tại $B(0; 150)$.
ĐỊNH LÍ TỐI ƯU TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN ĐA GIÁC
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức bậc nhất: $$F(x; y) = ax + by$$ với $(x; y)$ là toạ độ các điểm thuộc miền đa giác $A_1 A_2 \ldots A_n$ (tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác), luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Ví dụ 3 (SGK tr. 29) • Giải quyết tình huống mở đầu
Bài toán thực tiễnLời giải chi tiết:
Giả sử cửa hàng cần nhập $x$ máy điều hoà hai chiều và $y$ máy điều hoà một chiều ($x, y \ge 0$).
- Nhu cầu thị trường không quá 100 máy: $x + y \le 100$.
- Số vốn không vượt quá 1,2 tỉ đồng ($1\,200$ triệu đồng): $20x + 10y \le 1\,200 \iff 2x + y \le 120$.
Ta thu được hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 100 \\ 2x + y \le 120 \end{cases}$$
Lợi nhuận thu được khi bán hết là: $F(x; y) = 3{,}5x + 2y$ (triệu đồng).
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ: Miền tứ giác $OABC$ với toạ độ các đỉnh là $O(0; 0)$, $A(0; 100)$, $B(20; 80)$ và $C(60; 0)$ (H.2.7).
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại các đỉnh của tứ giác:
• $F(0; 0) = 3{,}5(0) + 2(0) = 0$;
• $F(0; 100) = 3{,}5(0) + 2(100) = 200$;
• $F(20; 80) = 3{,}5(20) + 2(80) = 70 + 160 = \mathbf{230}$;
• $F(60; 0) = 3{,}5(60) + 2(0) = 210$.
Bước 3. So sánh: Giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ là $230$ tại đỉnh $B(20; 80)$.
⇒ Cửa hàng cần nhập 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để thu được lợi nhuận lớn nhất là 230 triệu đồng.
Bài toán tối ưu kế hoạch kinh doanh máy tính
Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính $A$ và $B$, giá mỗi chiếc lần lượt là $10$ triệu đồng và $20$ triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá $4$ tỉ đồng ($4\,000$ triệu đồng). Loại máy $A$ mang lại lợi nhuận $2{,}5$ triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy $B$ mang lại lợi nhuận $4$ triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá $250$ máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại $A$ là $x$ và số máy tính loại $B$ là $y$.
- a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
- b) Gọi $F$ (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán $x$ máy tính loại $A$ và $y$ máy tính loại $B$. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.
- c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
a) Điều kiện: $x \ge 0, y \ge 0$.
• Tổng số máy không vượt quá $250$: $x + y \le 250$.
• Tổng vốn không quá $4$ tỉ đồng ($4\,000$ triệu đồng): $10x + 20y \le 4\,000 \iff x + 2y \le 400$.
Hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 250 \\ x + 2y \le 400 \end{cases}$$
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ với các đỉnh:
• $O(0; 0)$;
• $A(0; 200)$ (giao điểm của $x + 2y = 400$ với trục $Oy$);
• $B(100; 150)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y = 250 \\ x + 2y = 400 \end{cases}$);
• $C(250; 0)$ (giao điểm của $x + y = 250$ với trục $Ox$).
b) Biểu thức lợi nhuận: $F(x; y) = 2{,}5x + 4y$ (triệu đồng).
c) Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền tứ giác $OABC$:
• $F(0; 0) = 0$;
• $F(0; 200) = 2{,}5(0) + 4(200) = 800$;
• $F(100; 150) = 2{,}5(100) + 4(150) = 250 + 600 = \mathbf{850}$;
• $F(250; 0) = 2{,}5(250) + 4(0) = 625$.
⇒ Kết luận: Giá trị lớn nhất của lợi nhuận là $850$ triệu đồng, đạt được khi $x = 100$ và $y = 150$. Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy tính loại A và 150 máy tính loại B.
Lời giải chi tiết:
Hệ này gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $1 \cdot x + 0 \cdot y < 0$ và $0 \cdot x + 1 \cdot y \ge 0$.
⇒ Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình đầu tiên $x + y^2 < 0$ chứa ẩn $y$ với số mũ $2$ (bậc hai đối với $y$), không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
⇒ Đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình $x + y + z < 0$ có ba ẩn số là $x, y, z$.
⇒ Đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (mà là ba ẩn).
Ta có $3^2 = 9$ và $4^2 = 16$. Khi đó hệ viết lại thành: $$\begin{cases} -2x + y < 9 \\ 16x + 3y < 1 \end{cases}$$ Cả hai bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$.
⇒ Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu a: $\begin{cases} y - x < -1 \iff x - y > 1 \\ x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$
- Bờ $d: y - x = -1 \iff x - y = 1$: Đi qua hai điểm $(1; 0)$ và $(0; -1)$. Vẽ bằng nét đứt. Thử $O(0; 0)$: $0 - 0 = 0 \not< -1$ (sai), vậy miền nghiệm không chứa gốc toạ độ $O$ (nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng $d$).
- $x > 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (bỏ trục $Oy$, vẽ bằng nét đứt).
- $y < 0$: Nửa mặt phẳng phía dưới trục $Ox$ (bỏ trục $Ox$, vẽ bằng nét đứt).
Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch, giới hạn bởi đường thẳng $x - y = 1$, trục $Ox$ và trục $Oy$ (không chứa các đường biên).
Câu b: $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4 \end{cases}$
- $x \ge 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, kể cả trục $Oy$ (nét liền).
- $y \ge 0$: Nửa mặt phẳng bên trên trục $Ox$, kể cả trục $Ox$ (nét liền).
- $2x + y \le 4$: Đường thẳng biên $d: 2x + y = 4$ đi qua $A(2; 0)$ và $B(0; 4)$ vẽ bằng nét liền. Thử $O(0; 0)$: $2(0) + 0 = 0 \le 4$ (đúng), miền nghiệm chứa gốc $O$.
Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền tam giác $OAB$ (kể cả ba cạnh của tam giác) với $O(0; 0), A(2; 0), B(0; 4)$.
Câu c: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x - y < 0 \end{cases}$
- $x \ge 0$: Nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$, kể cả trục $Oy$ (nét liền).
- $x + y > 5$: Đường thẳng $d_1: x + y = 5$ qua $(5; 0)$ và $(0; 5)$ vẽ bằng nét đứt. Thử $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 \not> 5$ (sai), vậy miền nghiệm không chứa gốc $O$.
- $x - y < 0 \iff y > x$: Đường thẳng $d_2: y = x$ (đường phân giác góc phần tư I) vẽ bằng nét đứt. Thử điểm $(0; 1)$: $0 - 1 = -1 < 0$ (đúng), miền nghiệm chứa điểm $(0; 1)$ (nửa mặt phẳng phía trên đường $y = x$).
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 0 \end{cases} \implies M(2{,}5; 2{,}5)$.
Miền nghiệm là góc mở vô hạn đỉnh $M(2{,}5; 2{,}5)$, giới hạn bởi tia trên của $d_1$ và tia trên của $d_2$ (không kể hai đường biên).
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 1 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!