Bài 7: Các khái niệm mở đầu
Lý thuyết Bài 7: Các khái niệm mở đầu
Lý thuyết đầy đủ về các khái niệm mở đầu của Vectơ (Chương IV): Định nghĩa vectơ và độ dài vectơ, giá của vectơ, điều kiện cùng phương - cùng hướng - ngược hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ-không, bài toán lực đẩy Archimedes và trọng lực, cùng 100% lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 4.1 đến Bài 4.5 trang 50).
BÀI 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 46 - 50)
THUẬT NGỮ CỐT LÕI
- Vectơ, Vectơ-không ($\vec{0}$)
- Độ dài của vectơ ($|\vec{a}|, |\overrightarrow{AB}|$)
- Giá của vectơ
- Hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng hướng, ngược hướng
- Hai vectơ bằng nhau ($\vec{a} = \vec{b}$)
KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT
- Nhận biết khái niệm vectơ, độ dài của vectơ, giá của vectơ.
- Phân biệt chính xác hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và bằng nhau.
- Nắm vững định nghĩa và các quy ước về vectơ-không ($\vec{0}$).
- Vận dụng vectơ để mô tả và biểu diễn các đại lượng có hướng trong vật lí như lực, vận tốc, độ dịch chuyển.
BỐI CẢNH THỰC TIỄN & TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (TRANG 46)
Trong thực tế cuộc sống, ta thường gặp những đại lượng chỉ cần một con số để biểu thị đầy đủ (như nhiệt độ, khối lượng, thời gian, diện tích) — đó là các đại lượng vô hướng.
Tuy nhiên, có rất nhiều đại lượng quan trọng cần đồng thời hai yếu tố: độ lớn và hướng (như vận tốc gió, lực kéo, độ dịch chuyển). Chẳng hạn, trong bản tin thời tiết: nhiệt độ $30^\circ\text{C}$ chỉ có độ lớn; trong khi gió có vận tốc $18\text{ km/h}$ và thổi theo hướng đông nam.
Hình 4.1: Vị trí ga An Cựu cách Hoàng cung Huế 3,01 km về hướng đông nam
1. KHÁI NIỆM VECTƠ
HĐ1 Chuyển động của con tàu
Một con tàu khởi hành từ đảo $A$, đi thẳng về hướng đông $10\text{ km}$ rồi đi thẳng tiếp $10\text{ km}$ về hướng nam thì tới đảo $B$ (H.4.2).
Nếu từ đảo $A$, tàu đi thẳng một mạch (không đổi hướng) tới đảo $B$, thì phải đi theo hướng đông nam và quãng đường phải đi là $AB = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\text{ km}$.
ĐỊNH NGHĨA VECTƠ & ĐỘ DÀI VECTƠ
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.
- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Kí hiệu và cách biểu diễn vectơ
- Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là "vectơ $AB$" (H.4.3).
- Để vẽ vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối $B$.
- Vectơ còn được kí hiệu bằng các chữ cái thường có mũi tên ở trên: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \dots$ (H.4.4).
- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}, \vec{a}$ tương ứng được kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|, |\vec{a}|$. Ta có: $|\overrightarrow{AB}| = AB$.
Ví dụ 1 (SGK tr. 47)
Độ dài vectơCho hình vuông $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng $1$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BD}$.
Do đó: $|\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}; \quad |\overrightarrow{CA}| = CA = \sqrt{2}; \quad |\overrightarrow{BD}| = BD = \sqrt{2}$.
Các vectơ có độ dài bằng cạnh tam giác đều
Cho tam giác đều $ABC$ với cạnh có độ dài bằng $a$. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng $a$ và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác $ABC$.
$\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{BA}, \ \overrightarrow{BC}, \ \overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{CA}, \ \overrightarrow{AC}$ (gồm tất cả $6$ vectơ).
2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
GIÁ CỦA VECTƠ & HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng hướng và ngược hướng
HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng: $$\vec{a} = \vec{b} \iff \begin{cases} |\vec{a}| = |\vec{b}| \\ \vec{a} \text{ cùng hướng } \vec{b} \end{cases}$$
VECTƠ-KHÔNG VÀ CÁC QUY ƯỚC QUAN TRỌNG
- Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB}, \overrightarrow{MM}$) được gọi là vectơ-không.
- Quy ước: Vectơ-không có độ dài bằng $0$ ($|\vec{0}| = 0$).
- Quy ước: Vectơ-không cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.
- Mọi vectơ-không đều có cùng độ dài bằng $0$ và cùng hướng, nên chúng đều bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$.
- Với mỗi điểm $O$ và một vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất một điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$.
Ví dụ 2: Vectơ trong hình chữ nhật
Nhận biết vectơ bằng nhauCho hình chữ nhật $ABCD$. Chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.
- $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$: Có giá song song nên cùng phương. Mũi tên cùng chỉ từ trên xuống dưới nên cùng hướng. Cạnh đối hình chữ nhật nên $AD = BC$. ⇒ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
- $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: Có giá song song, cùng độ dài $AB = CD$, nhưng mũi tên chỉ chiều ngược nhau (hướng từ trái sang phải so với từ phải sang trái). ⇒ Chúng ngược hướng và không bằng nhau ($\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{CD}$).
- $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$: Hai đường chéo cắt nhau nên hai giá không song song, không trùng nhau ⇒ Không cùng phương, do đó không bằng nhau ($\overrightarrow{AC} \ne \overrightarrow{BD}$) mặc dù có cùng độ dài $AC = BD$.
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC: ĐIỀU KIỆN BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Biểu diễn lực bằng vectơ: Trọng lực và Lực đẩy Archimedes
Một vật $A$ được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng.
- Lực đẩy Archimedes $\vec{F}$ có phương thẳng đứng, hướng từ dưới lên trên.
- Trọng lực $\vec{P}$ có phương thẳng đứng, hướng từ trên xuống dưới.
- Vì vật chìm xuống đáy nên độ lớn trọng lực thắng lực đẩy: $P > F$.
⇒ Hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b (độ dài vectơ $\vec{P}$ lớn hơn vectơ $\vec{F}$). Trong Hình 4.11b, $|\vec{P}| = 3|\vec{F}|$, suy ra trọng lượng riêng của vật $A$ gấp $3$ lần trọng lượng riêng của chất lỏng.
Hình 4.11: Ba cách biểu diễn cặp lực P và F
Lời giải chi tiết:
Theo quy ước SGK trang 48, vectơ-không $\vec{0}$ cùng hướng (và do đó cùng phương) với mọi vectơ. Vì vậy mọi vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$.
Hai vectơ chỉ được xét cùng hướng hay ngược hướng khi chúng cùng phương. Nếu $\vec{b}$ và $\vec{a}$ không cùng phương (giá của chúng cắt nhau) thì $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ nhưng cũng không ngược hướng với $\vec{a}$.
Vì $\vec{c} \ne \vec{0}$, giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$, và giá của $\vec{b}$ cũng song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$. Theo tiên đề hình học về các đường thẳng song song, giá của $\vec{a}$ và giá của $\vec{b}$ phải song song hoặc trùng nhau. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
Vì $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{c}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với $\vec{c}$ ($\vec{c} \ne \vec{0}$) nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vừa cùng phương với $\vec{c}$, vừa có chiều mũi tên trùng với chiều mũi tên của $\vec{c}$. Do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng với nhau.
Toạ độ các vectơ trên Hình 4.12:
- Vectơ $\vec{a}$: Điểm đầu $(-2; 0)$, điểm cuối $(0; 4)$. Đường thẳng giá có phương trình $y = 2x + 4$ (hệ số góc $k = 2$). Hướng từ dưới lên trên. Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- Vectơ $\vec{b}$: Điểm đầu $(-1; 0)$, điểm cuối $(0; 2)$. Đường thẳng giá có phương trình $y = 2x + 2$ (hệ số góc $k = 2$). Hướng từ dưới lên trên. Độ dài: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
- Vectơ $\vec{c}$: Điểm đầu $(2; 0)$, điểm cuối $(0; -4)$. Đường thẳng giá có phương trình $y = 2x - 4$ (hệ số góc $k = 2$). Hướng từ trên xuống dưới. Độ dài: $|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- Vectơ $\vec{d}$: Điểm đầu $(0; 2)$, điểm cuối $(4; 0)$. Đường thẳng giá có phương trình $x + 2y = 4 \iff y = -\frac{1}{2}x + 2$ (hệ số góc $k = -1/2$).
Hình 4.12 SGK Toán 10
Kết luận:
1. Các vectơ cùng phương:
Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ có giá là các đường thẳng song song với nhau (cùng có hệ số góc bằng $2$), do đó:
• $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đôi một cùng phương với nhau.
• Vectơ $\vec{d}$ không cùng phương với bất kì vectơ nào trong ba vectơ trên.
2. Các cặp vectơ ngược hướng:
• $\vec{a}$ và $\vec{c}$ ngược hướng (vì cùng phương, $\vec{a}$ hướng lên trên còn $\vec{c}$ hướng xuống dưới).
• $\vec{b}$ và $\vec{c}$ ngược hướng.
3. Các cặp vectơ bằng nhau:
Để hai vectơ bằng nhau, chúng phải cùng hướng và cùng độ dài.
• $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng nhưng $|\vec{a}| = 2\sqrt{5} \ne |\vec{b}| = \sqrt{5}$.
• $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng độ dài $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2\sqrt{5}$ nhưng lại ngược hướng.
⇒ Không có cặp vectơ nào bằng nhau trong Hình 4.12.
• Chiều thuận ($\implies$): Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
• Chiều đảo ($\Longleftarrow$): Nếu $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Theo tính chất hình bình hành, hai cạnh đối $AD$ và $BC$ song song và bằng nhau: $$AD \parallel BC \quad \text{và} \quad AD = BC$$
• Vì $AD \parallel BC$ nên hai giá của hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song, do đó $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
• Xét chiều đi từ $A$ đến $D$ và từ $B$ đến $C$ theo định nghĩa đỉnh của hình bình hành, hai vectơ này có cùng chiều từ trái sang phải (hoặc cùng hướng), nên $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
• Mặt khác, độ dài $|\overrightarrow{BC}| = BC$ và $|\overrightarrow{AD}| = AD$, mà $BC = AD$ nên $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$.
⇒ Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, ta có: $$\begin{cases} \overrightarrow{BC} \text{ cùng hướng với } \overrightarrow{AD} \\ |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}| \end{cases}$$
• Vì $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên chúng cùng phương, suy ra hai đường thẳng chứa hai vectơ này song song hoặc trùng nhau: $BC \parallel AD$ (do $ABCD$ là tứ giác nên các đỉnh phân biệt không thẳng hàng, $BC$ không trùng $AD$).
• Vì $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|$ nên độ dài đoạn thẳng $BC = AD$.
• Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($BC \parallel AD$ và $BC = AD$).
⇒ Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 2 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!