Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố "Hạt giống A nảy mầm", $B$ là biến cố "Hạt giống B nảy mầm".
Ta có: $P(A) = 0{,}92 \implies P(\overline{A}) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$.
          $P(B) = 0{,}88 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0{,}88 = 0{,}12$.

Vì $A$ và $B$ độc lập nên các cặp biến cố đối cũng độc lập với nhau:

a) Xác suất hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm:
    $$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}92 \cdot 0{,}12 = 0{,}1104.$$

b) Xác suất hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm:
    $$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}08 \cdot 0{,}88 = 0{,}0704.$$

c) Biến cố đối của biến cố "Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm" là biến cố "Cả hai loại hạt giống đều không nảy mầm" ($\overline{A}\,\overline{B}$).
    Ta có: $P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}08 \cdot 0{,}12 = 0{,}0096$.
    Do đó xác suất ít nhất một loại hạt giống nảy mầm là:
    $$P = 1 - P(\overline{A}\,\overline{B}) = 1 - 0{,}0096 = 0{,}9904.$$

Lời giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông trong nhóm $5\,000$ người khảo sát.

Gọi $A$ là biến cố "Người đó nghiện thuốc lá", $B$ là biến cố "Người đó bị viêm phổi".

Khi đó $AB$ là biến cố "Người đó nghiện thuốc lá và bị viêm phổi".

Từ bảng số liệu thống kê ta tính được:

• Xác suất người được chọn nghiện thuốc lá: $P(A) = \dfrac{1\,988}{5\,000} = 0{,}3976$.

• Xác suất người được chọn bị viêm phổi: $P(B) = \dfrac{1\,327}{5\,000} = 0{,}2654$.

• Tích hai xác suất là: $$P(A) \cdot P(B) = 0{,}3976 \times 0{,}2654 \approx 0{,}1055.$$

• Xác suất người được chọn vừa nghiện thuốc lá vừa bị viêm phổi là:
    $$P(AB) = \dfrac{752}{5\,000} = 0{,}1504.$$

Vì $P(AB) = 0{,}1504 \ne P(A) \cdot P(B) \approx 0{,}1055$ nên hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.