Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở phía bắc của vòng Bắc Cực (như một số vùng phía bắc của Na Uy, Phần Lan, Nga,...), Mặt Trời có thể được nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày mà không hề lặn xuống dưới đường chân trời (Hình 7.32). Hiện tượng kì thú này được gọi là "Đêm trắng" hay "Mặt Trời lúc nửa đêm".

Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm $A, B, C, D$, người ta dựng các cột thẳng đứng $AM, BN, CP, DQ$ và nối các sợi dây thẳng giữa $M$ và $P$, $N$ và $Q$ (Hình 7.35).

1. Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây $MP$ và $NQ$ trên sân.
2. Chứng minh rằng nếu $BD \perp AC$ thì $BD \perp MP$.
3. Chứng minh rằng nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì các trung điểm $E, F$ tương ứng của các đoạn thẳng $MP$ và $NQ$ có cùng hình chiếu trên sân.

• a) Gọi $\alpha$ là góc giữa $SB$ và $(ABC)$. Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $SB$ là $AB$. Do đó $\alpha = \widehat{SBA}$. $$\tan \alpha = \tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$$
• b) Tính góc giữa $SC$ và $(SAB)$: Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Do $\triangle ABC$ cân tại $C$ nên $CM \perp AB$. Lại có $SA \perp (ABC) \implies SA \perp CM$. Suy ra $CM \perp (SAB)$. Vậy $SM$ là hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$. Góc cần tìm là $\widehat{CSM}$.
  Tính toán: $CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{7a^2 - a^2} = a\sqrt{6}$.
  $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + 7a^2} = a\sqrt{8}$.
  Tam giác $CMS$ vuông tại $M$: $\sin \widehat{CSM} = \frac{CM}{SC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \widehat{CSM} = 60^\circ$.