Theo định nghĩa SGK Toán 11:\n- Hàm số mũ có dạng $y = a^x$ với cơ số $a$ là số thực dương khác 1 ($0 < a \ne 1$) và biến số $x$ nằm ở số mũ. Do đó $y = 2^x$ là hàm số mũ cơ số 2.\n- $y = x^2$ và $y = x^{-2}$ là các hàm luỹ thừa.\n- $y = \log_2 x$ là hàm số lôgarit.

Hàm số mũ $y = a^x$ ($a > 0, a \ne 1$) xác định với mọi số thực $x \in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D = \mathbb{R}$.\nVới mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $a^x > 0$, do đó tập giá trị của hàm số là $T = (0; +\infty)$.

Xét cơ số của các hàm số:\n- Hàm số $y = (0,5)^x$ có cơ số $a = 0,5 \in (0; 1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.\n- Hàm số $y = 2^x$ có cơ số $a = 2 > 1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.\n- Hàm số $y = e^x$ có cơ số $e \approx 2,718 > 1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.\n- Hàm số $y = \log_3 x$ có cơ số $a = 3 > 1$ nên đồng biến trên $(0; +\infty)$.

Ta có: $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$.\nThay $x$ bằng $-x$ trong phương trình hàm số $y = 3^x$ ta thu được $y = 3^{-x}$, do đó hai đồ thị $y = 3^x$ và $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ đối xứng nhau qua trục tung $Oy$.

Hàm số $y = \log|x + 3|$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương:\n$$|x + 3| > 0 \iff x + 3 \ne 0 \iff x \ne -3.$$\nVậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Hàm số $y = \ln(4 - x^2)$ xác định khi và chỉ khi:\n$$4 - x^2 > 0 \iff x^2 < 4 \iff -2 < x < 2.$$\nVậy tập xác định của hàm số là khoảng $D = (-2; 2)$.

Giả sử điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y = a^x$, tức là $y_0 = a^{x_0}$.\nTheo định nghĩa lôgarit, điều này tương đương với $x_0 = \log_a y_0$, nghĩa là điểm $M'(y_0; x_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y = \log_a x$.\nVì hai điểm $M(x_0; y_0)$ và $M'(y_0; x_0)$ luôn đối xứng nhau qua đường thẳng phân giác thứ nhất $y = x$, nên đồ thị hàm số mũ $y = a^x$ và đồ thị hàm số lôgarit $y = \log_a x$ luôn đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Thay $t = 45$ vào hàm số $m(t)$:\n$$m(45) = 13 \cdot e^{-0,015 \times 45} = 13 \cdot e^{-0,675}.$$\nSử dụng máy tính cầm tay tính giá trị:\n$$e^{-0,675} \approx 0,509156...$$\n$$m(45) = 13 \times 0,509156 \approx 6,619 \approx 6,62 \text{ (kg)}.$$\nVậy sau 45 ngày, khối lượng chất phóng xạ còn lại khoảng $6,62\text{ kg}$.

Thay thời gian $t = 6$ vào hàm số $M(t)$:\n$$M(6) = 75 - 20\ln(6 + 1) = 75 - 20\ln 7.$$\nSử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của $\ln 7$:\n$$\ln 7 \approx 1,945910...$$\n$$M(6) = 75 - 20 \times 1,945910 = 75 - 38,9182 = 36,0818 \approx 36,08\%.$$\nVậy sau 6 tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh còn khoảng $36,08\%$.