Bài 27: Thể tích

Vì $OA \perp OB$ và $OA \perp OC$ nên $OA \perp (OBC)$. Do đó $OA$ là đường cao hạ từ $A$ xuống mặt phẳng $(OBC)$.

Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ nên có diện tích: $$S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC = \frac{1}{2} bc$$

Vậy thể tích khối tứ diện $OABC$ là: $$V = \frac{1}{3} S_{\triangle OBC} \cdot OA = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} bc \cdot a = \frac{1}{6} abc$$

Trong mặt phẳng $(ACC'A')$, kẻ $A'H \perp AC$ tại $H$.

Vì $(ACC'A') \perp (ABC)$ và giao tuyến là $AC$ nên $A'H \perp (ABC)$, do đó $A'H$ là chiều cao của khối lăng trụ.

Tam giác vuông $A'HA$ có góc $\widehat{A'AH} = 60^\circ$, suy ra: $$A'H = AA' \cdot \sin 60^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $$S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $$V = S_{\triangle ABC} \cdot A'H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^3}{8}$$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Khi đó $A'H \perp (ABCD)$ và $\widehat{A'AH}$ là góc giữa cạnh bên $AA'$ và mặt đáy $(ABCD)$, do đó $\widehat{A'AH} = 45^\circ$.

Trong tam giác vuông $A'HA$, ta có chiều cao: $$h = A'H = AA' \cdot \sin 45^\circ = a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a$$

Diện tích đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$: $$S = a^2$$

Vậy thể tích khối hộp là: $$V = S \cdot h = a^2 \cdot a = a^3$$