Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai (Toán Lớp 10)

TOÁN 10 - TẬP 2 | CHƯƠNG VI: HÀM SỐ, ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 18. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Tập 2, Trang 25 – 27)

Thời lượng: 2 tiết

THUẬT NGỮ CỐT LÕI

Phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ)
Phương pháp bình phương khử căn
Nghiệm ngoại lai và phép thử lại

KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT

Thành thạo phương pháp giải phương trình dạng $\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{dx^2+ex+f}$.
Thành thạo phương pháp giải phương trình dạng $\sqrt{ax^2+bx+c} = dx+e$.
Hiểu rõ vì sao phải thử lại nghiệm (hoặc đặt điều kiện không âm ở vế phải) để loại nghiệm ngoại lai.
Vận dụng giải các bài toán thực tiễn chuyển động và hình học dẫn tới phương trình vô tỉ.

Tổng quan nội dung

Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải hai dạng phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp nhất trong chương trình Toán 10 bằng cách bình phương hai vế để đưa về phương trình bậc hai hoặc bậc nhất: $$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f} \quad \text{và} \quad \sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$$

1 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$

HĐ1 Khám phá cách khử căn thức khi hai vế đều là căn bậc hai

Cho phương trình: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = \sqrt{-x^2 - 2x + 2}$.

Bình phương hai vế để khử căn và giải phương trình nhận được.
Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Xem hướng dẫn giải HĐ1

a) Bình phương hai vế phương trình, ta được:

$$x^2 - 3x + 2 = -x^2 - 2x + 2 \Leftrightarrow 2x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= \frac{1}{2} \end{aligned}\right.$$

b) Thay lần lượt hai giá trị tìm được vào phương trình ban đầu:

Với $x = 0$: Vế trái $\sqrt{0 - 0 + 2} = \sqrt{2}$; Vế phải $\sqrt{-0 - 0 + 2} = \sqrt{2}$. Hai vế bằng nhau $\Rightarrow x = 0$ thoả mãn.
Với $x = \frac{1}{2}$: Vế trái $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{1}{2}) + 2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$; Vế phải $\sqrt{-(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Hai vế bằng nhau $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$ thoả mãn.

Kết luận: Cả hai giá trị $x = 0$ và $x = \frac{1}{2}$ đều thoả mãn phương trình đã cho.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1

Để giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$, ta thực hiện như sau:

1 Bước 1: Bình phương hai vế và giải phương trình bậc hai nhận được: $ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f$.

2 Bước 2: Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở trên vào phương trình đã cho để kiểm tra (chỉ nhận nghiệm làm biểu thức dưới căn không âm và hai vế bằng nhau) và kết luận tập nghiệm.

Ví dụ 1 (SGK tr. 25)

Giải phương trình: $\sqrt{2x^2 - 4x - 2} = \sqrt{x^2 - x - 2}$

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$2x^2 - 4x - 2 = x^2 - x - 2 \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned}\right.$$

Thay lần lượt hai giá trị này vào phương trình đã cho:

Với $x = 0$, biểu thức dưới căn là $2(0)^2 - 4(0) - 2 = -2 < 0$, nên $x = 0$ không thoả mãn (loại nghiệm ngoại lai).
Với $x = 3$, hai vế của phương trình cùng bằng $\sqrt{2(3)^2 - 4(3) - 2} = \sqrt{4} = 2$, nên $x = 3$ thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 3$.

Luyện tập 1 (SGK tr. 25)

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2 - 6x + 1} = \sqrt{-2x^2 - 9x + 1}$

b) $\sqrt{2x^2 - 3x - 5} = \sqrt{x^2 - 7}$

Xem lời giải chi tiết Luyện tập 1

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x^2 - 6x + 1} = \sqrt{-2x^2 - 9x + 1}$

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$3x^2 - 6x + 1 = -2x^2 - 9x + 1 \Leftrightarrow 5x^2 + 3x = 0 \Leftrightarrow x(5x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= -\frac{3}{5} \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 0$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{1} = 1$ (thoả mãn).
Với $x = -\frac{3}{5}$: Ta có $3(-\frac{3}{5})^2 - 6(-\frac{3}{5}) + 1 = \frac{27}{25} + \frac{18}{5} + 1 = \frac{142}{25} > 0$, vế phải $-2(-\frac{3}{5})^2 - 9(-\frac{3}{5}) + 1 = \frac{142}{25} > 0$. Hai vế bằng nhau (thoả mãn).

⇒ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = -\frac{3}{5}$.

b) Giải phương trình: $\sqrt{2x^2 - 3x - 5} = \sqrt{x^2 - 7}$

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$2x^2 - 3x - 5 = x^2 - 7 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \\ x &= 2 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 1$: Biểu thức ở vế phải là $x^2 - 7 = 1 - 7 = -6 < 0$ (loại).
Với $x = 2$: Biểu thức ở vế phải là $x^2 - 7 = 4 - 7 = -3 < 0$ (loại).

⇒ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$

HĐ2 Khám phá cách giải phương trình một vế chứa căn, một vế bậc nhất

Cho phương trình: $\sqrt{26x^2 - 63x + 38} = 5x - 6$.

Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.
Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Xem hướng dẫn giải HĐ2

a) Bình phương hai vế phương trình, ta được:

$$26x^2 - 63x + 38 = (5x - 6)^2 \Leftrightarrow 26x^2 - 63x + 38 = 25x^2 - 60x + 36$$ $$\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \\ x &= 2 \end{aligned}\right.$$

b) Thử lại:

Với $x = 1$: Vế trái $\sqrt{26 - 63 + 38} = \sqrt{1} = 1$; Vế phải $5(1) - 6 = -1$. Vì $1 \ne -1$ nên $x = 1$ không thoả mãn (loại).
Với $x = 2$: Vế trái $\sqrt{26(4) - 63(2) + 38} = \sqrt{16} = 4$; Vế phải $5(2) - 6 = 4$. Hai vế bằng nhau $\Rightarrow x = 2$ thoả mãn.

Kết luận: Chỉ có $x = 2$ là nghiệm của phương trình đã cho.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 2

Để giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$, ta thực hiện như sau:

1 Bước 1: Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được: $ax^2 + bx + c = (dx + e)^2$.

2 Bước 2: Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở trên vào phương trình đã cho để kiểm tra và kết luận nghiệm.

Ví dụ 2 (SGK tr. 26)

Giải phương trình: $\sqrt{2x^2 - 5x - 9} = x - 1$

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$$2x^2 - 5x - 9 = x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= -2 \\ x &= 5 \end{aligned}\right.$$

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho:

Với $x = -2$, vế phải là $-2 - 1 = -3 < 0$, trong khi vế trái $\ge 0$ nên $x = -2$ bị loại.
Với $x = 5$, hai vế cùng bằng $\sqrt{2(25) - 25 - 9} = \sqrt{16} = 4$, thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$.

Góc tư duy nhanh

Vì vế trái $\sqrt{ax^2+bx+c} \ge 0$ luôn không âm, nên phương trình chỉ có thể có nghiệm khi vế phải $dx + e \ge 0$.

Với $x = -2$ thì vế phải âm ($x - 1 = -3 < 0$). Do đó ta có thể kết luận ngay $x = -2$ không là nghiệm mà không cần tính vế trái!

Luyện tập 2 (SGK tr. 26)

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x$

b) $\sqrt{3x^2 - 13x + 14} = x - 3$

Xem lời giải chi tiết Luyện tập 2

a) Giải phương trình: $\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x$

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$2x^2 + x + 3 = (1 - x)^2 \Leftrightarrow 2x^2 + x + 3 = x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= -1 \\ x &= -2 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = -1$: Vế trái $\sqrt{2(-1)^2 + (-1) + 3} = \sqrt{4} = 2$; Vế phải $1 - (-1) = 2$ (thoả mãn).
Với $x = -2$: Vế trái $\sqrt{2(-2)^2 + (-2) + 3} = \sqrt{9} = 3$; Vế phải $1 - (-2) = 3$ (thoả mãn).

⇒ Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = -1$ và $x = -2$.

b) Giải phương trình: $\sqrt{3x^2 - 13x + 14} = x - 3$

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

$$3x^2 - 13x + 14 = (x - 3)^2 \Leftrightarrow 3x^2 - 13x + 14 = x^2 - 6x + 9 \Leftrightarrow 2x^2 - 7x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \\ x &= \frac{5}{2} \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 1$: Vế phải bằng $1 - 3 = -2 < 0$ (loại).
Với $x = \frac{5}{2}$: Vế phải bằng $\frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2} < 0$ (loại).

⇒ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

ỨNG DỤNG THỰC TẾ – BÀI TOÁN HẸN GẶP TẠI BỜ BIỂN (SGK TR. 26)

Bác Việt sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển $4\text{ km}$ (điểm $A$). Hằng tuần bác chèo thuyền vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bính (điểm $B$) để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp.

Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở thôn Hoành (điểm $C$), bên bờ biển cách bến Bính $9,25\text{ km}$ và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bính bằng xe kéo. Bác Việt đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí $M$ nào đó giữa bến Bính và thôn Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau.

Biết vận tốc xe kéo của anh Nam là $5\text{ km/h}$ và vận tốc chèo thuyền của bác Việt là $4\text{ km/h}$. Hãy tìm vị trí hai người dự định gặp nhau.

Hình 6.20: Mô hình bài toán chuyển động trạm hải đăng

Hướng dẫn & Lời giải chi tiết:

Ta mô hình hoá bài toán bằng sơ đồ hình học như Hình 6.20: Trạm hải đăng tại vị trí $A$, bến Bính tại $B$ và thôn Hoành tại $C$. Tam giác $ABM$ vuông tại $B$.

Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí $M$ và đặt $BM = x\text{ (km)}$ với điều kiện $0 < x < 9,25$.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABM$, quãng đường bác Việt chèo thuyền là: $$AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{4^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 16}\text{ (km)}$$
Thời gian bác Việt chèo thuyền từ $A$ đến $M$ với vận tốc $4\text{ km/h}$ là: $$t_1 = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{4}\text{ (giờ)}$$
Quãng đường anh Nam kéo xe từ thôn Hoành $C$ đến điểm $M$ là: $$MC = BC - BM = 9,25 - x\text{ (km)}$$
Thời gian anh Nam đi xe kéo từ $C$ đến $M$ với vận tốc $5\text{ km/h}$ là: $$t_2 = \frac{9,25 - x}{5}\text{ (giờ)}$$

Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian di chuyển của hai người phải bằng nhau ($t_1 = t_2$):

$$\frac{\sqrt{x^2 + 16}}{4} = \frac{9,25 - x}{5} \Leftrightarrow 5\sqrt{x^2 + 16} = 4(9,25 - x) \Leftrightarrow 5\sqrt{x^2 + 16} = 37 - 4x$$

Bình phương hai vế của phương trình:

$$25(x^2 + 16) = (37 - 4x)^2 \Leftrightarrow 25x^2 + 400 = 1369 - 296x + 16x^2$$ $$\Leftrightarrow 9x^2 + 296x - 969 = 0$$

Giải phương trình bậc hai trên: Ta có $\Delta' = 148^2 - 9(-969) = 21904 + 8721 = 30625 = 175^2$.

$$x_1 = \frac{-148 + 175}{9} = \frac{27}{9} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-148 - 175}{9} = -\frac{323}{9} < 0 \text{ (loại)}$$

Thử lại với $x = 3$: $t_1 = \frac{\sqrt{3^2 + 16}}{4} = \frac{5}{4} = 1,25\text{ giờ}$ và $t_2 = \frac{9,25 - 3}{5} = \frac{6,25}{5} = 1,25\text{ giờ}$. Thoả mãn hoàn toàn.

Kết luận: Vị trí hai người hẹn gặp nhau tại điểm $M$ nằm giữa bến Bính và thôn Hoành, cách bến Bính $3\text{ km}$ (tức cách thôn Hoành $6,25\text{ km}$).

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SGK (TRANG 27)

Bài 6.20 (SGK tr. 27): Giải các phương trình sau Dạng 1

a) $\sqrt{3x^2 - 4x - 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 3}$

b) $\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}$

c) $\sqrt{2x^2 + 3x - 3} = \sqrt{-x^2 - x + 1}$

d) $\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}$

Xem lời giải chi tiết Bài 6.20

a) $\sqrt{3x^2 - 4x - 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 3}$

Bình phương hai vế:

$$3x^2 - 4x - 1 = 2x^2 - 4x + 3 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$$

Thử lại:

Với $x = 2$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{12 - 8 - 1} = \sqrt{3}$ (thoả mãn).
Với $x = -2$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{12 + 8 - 1} = \sqrt{19}$ (thoả mãn).

⇒ Tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2; 2\}$.

b) $\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}$

Bình phương hai vế:

$$x^2 + 2x - 3 = -2x^2 + 5 \Leftrightarrow 3x^2 + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{4}{3} \\ x &= -2 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = \frac{4}{3}$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{\frac{16}{9} + \frac{8}{3} - 3} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ (thoả mãn).
Với $x = -2$: Biểu thức dưới căn vế trái là $(-2)^2 + 2(-2) - 3 = -3 < 0$ (loại).

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = \frac{4}{3}$.

c) $\sqrt{2x^2 + 3x - 3} = \sqrt{-x^2 - x + 1}$

Bình phương hai vế:

$$2x^2 + 3x - 3 = -x^2 - x + 1 \Leftrightarrow 3x^2 + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{2}{3} \\ x &= -2 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = \frac{2}{3}$: Biểu thức vế phải $-(\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} + 1 = -\frac{1}{9} < 0$ (loại).
Với $x = -2$: Biểu thức vế phải $-(-2)^2 - (-2) + 1 = -1 < 0$ (loại).

⇒ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm ($S = \varnothing$).

d) $\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}$

Bình phương hai vế:

$$-x^2 + 5x - 4 = -2x^2 + 4x + 2 \Leftrightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 2 \\ x &= -3 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 2$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{-4 + 10 - 4} = \sqrt{2}$ (thoả mãn).
Với $x = -3$: Biểu thức vế trái $-(-3)^2 + 5(-3) - 4 = -28 < 0$ (loại).

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 2$.

Bài 6.21 (SGK tr. 27): Giải các phương trình sau Dạng 2

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x$

c) $\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3$

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2$

Xem lời giải chi tiết Bài 6.21

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$

Bình phương hai vế:

$$6x^2 + 13x + 13 = (2x + 4)^2 \Leftrightarrow 6x^2 + 13x + 13 = 4x^2 + 16x + 16$$ $$\Leftrightarrow 2x^2 - 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$$

Thử lại:

Vế phải $2x + 4 = 2\left(\frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}\right) + 4 = \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2}$. Do $11 > \sqrt{33} \approx 5,74$ nên cả hai giá trị vế phải đều dương. Thay vào phương trình thấy cả hai đều thoả mãn.

⇒ Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$ và $x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}$.

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x$

Bình phương hai vế:

$$2x^2 + 5x + 3 = (-3 - x)^2 = x^2 + 6x + 9 \Leftrightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 3 \\ x &= -2 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 3$: Vế phải bằng $-3 - 3 = -6 < 0$ (loại).
Với $x = -2$: Vế phải bằng $-3 - (-2) = -1 < 0$ (loại).

⇒ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm ($S = \varnothing$).

c) $\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3$

Bình phương hai vế:

$$3x^2 - 17x + 23 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \Leftrightarrow 2x^2 - 11x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 2 \\ x &= \frac{7}{2} \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 2$: Vế phải bằng $2 - 3 = -1 < 0$ (loại).
Với $x = \frac{7}{2}$: Hai vế cùng bằng $\frac{1}{2}$ (thoả mãn).

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = \frac{7}{2}$.

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2$

Bình phương hai vế:

$$-x^2 + 2x + 4 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \Leftrightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned}\right.$$

Thử lại:

Với $x = 0$: Vế phải bằng $0 - 2 = -2 < 0$ (loại).
Với $x = 3$: Hai vế cùng bằng $\sqrt{-9 + 6 + 4} = \sqrt{1} = 1$ (thoả mãn).

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 3$.

Bài 6.22 (SGK tr. 27): Bài toán hình học – Tứ giác có hai đường chéo vuông góc Ứng dụng hình học

Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$; $AB = 2$; $BC = 13$; $CD = 8$; $DA = 5$ (Hình 6.21). Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường thẳng $CD$, đặt $x = AH$.

Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài $x$, từ đó tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Hình 6.21: Tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$

Xem lời giải chi tiết Bài 6.22

1. Thiết lập phương trình tìm $x$ ($x = AH > 0$):

Xét tam giác vuông $HAD$ vuông tại $H$, ta có cạnh huyền $AD = 5$ và cạnh góc vuông $AH = x$. $$HD = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - x^2} = \sqrt{25 - x^2} \quad (\text{điều kiện: } 0 < x < 5)$$
Vì $D$ nằm giữa $H$ và $C$ với $CD = 8$, nên độ dài đoạn thẳng $HC$ là: $$HC = HD + CD = \sqrt{25 - x^2} + 8$$
Mặt khác, $A$ nằm giữa $H$ và $B$ với $AB = 2$, nên: $$HB = HA + AB = x + 2$$
Xét tam giác vuông $HBC$ vuông tại $H$ có cạnh huyền $BC = 13$, ta có: $$HC = \sqrt{BC^2 - HB^2} = \sqrt{13^2 - (x + 2)^2} = \sqrt{169 - (x + 2)^2}$$

Từ hai cách biểu diễn $HC$, ta thiết lập được phương trình:

$$\sqrt{169 - (x + 2)^2} = \sqrt{25 - x^2} + 8$$

2. Giải phương trình tìm $x$:

Bình phương hai vế của phương trình:

$$169 - (x^2 + 4x + 4) = (25 - x^2) + 16\sqrt{25 - x^2} + 64$$ $$\Leftrightarrow 165 - x^2 - 4x = 89 - x^2 + 16\sqrt{25 - x^2}$$ $$\Leftrightarrow 76 - 4x = 16\sqrt{25 - x^2} \Leftrightarrow 19 - x = 4\sqrt{25 - x^2}$$

Bình phương hai vế phương trình thu gọn:

$$(19 - x)^2 = 16(25 - x^2) \Leftrightarrow 361 - 38x + x^2 = 400 - 16x^2$$ $$\Leftrightarrow 17x^2 - 38x - 39 = 0$$

Phương trình có $\Delta' = (-19)^2 - 17(-39) = 361 + 663 = 1024 = 32^2$.

$$x_1 = \frac{19 + 32}{17} = \frac{51}{17} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{19 - 32}{17} = -\frac{13}{17} < 0 \text{ (loại)}$$

Thử lại với $x = 3$: Vế trái bằng $\sqrt{169 - 25} = 12$, vế phải bằng $\sqrt{25 - 9} + 8 = 4 + 8 = 12$ (thoả mãn). Vậy $x = AH = 3$.

3. Tính diện tích tứ giác $ABCD$:

Với $x = 3$, ta có: $$HA = 3, \quad HB = 3 + 2 = 5, \quad HD = \sqrt{25 - 3^2} = 4, \quad HC = 4 + 8 = 12$$ Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng hiệu diện tích của hai tam giác vuông $\triangle HBC$ và $\triangle HAD$:

$$S_{ABCD} = S_{\triangle HBC} - S_{\triangle HAD} = \frac{1}{2}HB \cdot HC - \frac{1}{2}HA \cdot HD = \frac{1}{2}(5 \cdot 12) - \frac{1}{2}(3 \cdot 4) = 30 - 6 = 24$$

Đáp số: $x = 3$ và diện tích tứ giác $ABCD$ là $S = 24$ (đvdt).

Bài 6.23 (SGK tr. 27): Bài toán chuyển động đón bạn đi học Ứng dụng thực tế

Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường một khoảng $50\text{ m}$ để chờ Hùng.

Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$, cách mình một đoạn $200\text{ m}$ thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là $5\text{ km/h}$, vận tốc xe đạp của Hùng là $15\text{ km/h}$.

Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường (Hình 6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hình 6.22: Mô hình đón bạn Hùng và Minh

Xem lời giải chi tiết Bài 6.23

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của vị trí $A$ lên con đường. Theo đề bài, ta có tam giác $AHB$ vuông tại $H$ với: $$AH = 50\text{ m}, \quad AB = 200\text{ m}$$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $AHB$:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{200^2 - 50^2} = \sqrt{37500} = 50\sqrt{15}\text{ (m)} \approx 193,65\text{ m}$$

Gọi vị trí hai bạn gặp nhau trên lề đường là điểm $C$ thuộc đoạn $BH$. Đặt khoảng cách $HC = x\text{ (m)}$ với $0 \le x \le 50\sqrt{15}$.

Quãng đường Minh đi bộ từ $A$ đến $C$ là: $$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{50^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 2500}\text{ (m)}$$
Quãng đường Hùng đạp xe từ $B$ đến $C$ là: $$BC = BH - HC = 50\sqrt{15} - x\text{ (m)}$$
Vận tốc xe đạp của Hùng ($v_2 = 15\text{ km/h}$) gấp $3$ lần vận tốc đi bộ của Minh ($v_1 = 5\text{ km/h}$).
Để hai bạn đến $C$ cùng một lúc (thời gian $t_1 = t_2 \Leftrightarrow \frac{AC}{v_1} = \frac{BC}{v_2}$), quãng đường Hùng đi phải gấp $3$ lần quãng đường Minh đi: $$BC = 3 \cdot AC \Leftrightarrow 50\sqrt{15} - x = 3\sqrt{x^2 + 2500}$$

Bình phương hai vế phương trình:

$$(50\sqrt{15} - x)^2 = 9(x^2 + 2500) \Leftrightarrow 37500 - 100\sqrt{15}x + x^2 = 9x^2 + 22500$$ $$\Leftrightarrow 8x^2 + 100\sqrt{15}x - 15000 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 + 25\sqrt{15}x - 3750 = 0$$

Phương trình bậc hai có biệt thức: $\Delta = (25\sqrt{15})^2 - 4(2)(-3750) = 9375 + 30000 = 39375$.

$$x = \frac{-25\sqrt{15} + \sqrt{39375}}{4} = \frac{-25\sqrt{15} + 75\sqrt{7}}{4} \approx 25,4\text{ (m)}$$ (Nghiệm âm loại vì $x > 0$)

Từ đó khoảng cách từ $B$ đến vị trí gặp nhau $C$ là: $$BC = BH - HC \approx 193,65 - 25,4 = 168,25 \approx 168,3\text{ (m)}$$

Kết luận: Vị trí $C$ cách điểm $H$ (chân đường vuông góc hạ từ $A$) khoảng $25,4\text{ m}$ về phía $B$, hoặc cách điểm $B$ khoảng $168,3\text{ m}$.

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai