Chương III: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 11 KNTT - Bài 9

BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

Nắm vững bản chất, quy tắc và công thức tính toán 4 số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm: Số trung bình, Trung vị, Tứ phân vị và Mốt. Hiểu rõ ý nghĩa thực tiễn, ưu điểm và phạm vi ứng dụng trong phân tích dữ liệu thống kê đời sống.

🔑 Thuật ngữ then chốt: Số trung bình, Trung vị, Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$), Mốt, Giá trị đại diện.

🎯 Kĩ năng cốt lõi: Hiệu chỉnh mẫu số liệu rời rạc, tính nhanh và chuẩn xác các số đặc trưng, ứng dụng công nghệ (GeoGebra).

Tình huống mở đầu (Bảng 3.1)

Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho $35$ khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: $x_1, x_2, \dots, x_{35}$, trong đó $x_i$ là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ $i$. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ còn lưu giữ mẫu số liệu ghép nhóm dưới đây:

Số tiền (nghìn đồng)	$[0; 30)$	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$
Số khách hàng (tần số $m_i$)	3	15	10	7

Bảng 3.1: Số tiền khách hàng mua xăng tại cửa hàng

Câu hỏi đặt ra: Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc đã bị mất? Chúng ta cùng tìm hiểu lời giải chi tiết trong bài học hôm nay!

Số Trung Bình Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Hoạt động 1 (HĐ1 - Trang 62 SGK)

Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong một lớp theo mẫu phiếu điều tra.

a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được với các nhóm: $[0; 1,5), [1,5; 3), [3; 4,5), [4,5; 6)$.
b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp từ phiếu này không? (Không thể, do dữ liệu cá nhân chỉ ghi theo khoảng).
c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình? (Thay mỗi khoảng bằng giá trị đại diện là trung bình cộng hai đầu mút của nhóm đó).

Phiếu điều tra thời gian tự học

Mẫu số liệu ghép nhóm tổng quát (Bảng 3.2):

Nhóm giá trị	$[a_1; a_2)$	$\dots$	$[a_i; a_{i+1})$	$\dots$	$[a_k; a_{k+1})$
Tần số	$m_1$	$\dots$	$m_i$	$\dots$	$m_k$

Định nghĩa Công thức tính số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\bar{x}$, được tính theo công thức: $$\bar{x} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_k x_k}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} m_i x_i$$ Trong đó:

$n = m_1 + m_2 + \dots + m_k$ là cỡ mẫu (tổng số lượng quan sát).
$x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i: [a_i; a_{i+1})$ ($i = 1, 2, \dots, k$).

Chú ý: Kĩ thuật hiệu chỉnh mẫu số liệu rời rạc (Trang 63 SGK)

Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng $k_1 - k_2$, trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$ (hiểu là gồm các giá trị $k_1, k_1 + 1, \dots, k_2$). Trước khi tính toán các số đặc trưng, ta cần hiệu chỉnh mẫu số liệu ghép nhóm về dạng chuẩn nửa khoảng liên tục bằng quy tắc:

Nhóm rời rạc $k_1 - k_2 \quad \xrightarrow{\text{Hiệu chỉnh}} \quad \text{Nhóm liên tục } [k_1 - 0,5; \, k_2 + 0,5)$

Ví dụ: Nhóm điểm thi $1 - 4$ hiệu chỉnh thành $[0,5; 4,5)$; nhóm $5 - 7$ thành $[4,5; 7,5)$; nhóm $8 - 10$ thành $[7,5; 10,5]$.

Ví dụ 1 Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D (Bảng 3.5 - Trang 63)

Cân nặng (kg)	$[40,5; 45,5)$	$[45,5; 50,5)$	$[50,5; 55,5)$	$[55,5; 60,5)$	$[60,5; 65,5)$	$[65,5; 70,5)$
Giá trị đại diện $x_i$	43	48	53	58	63	68
Số học sinh ($m_i$)	10	7	16	4	2	3

Tổng số học sinh là cỡ mẫu: $n = 10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42$.

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là:

$$\bar{x} = \frac{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}{42} = \frac{2176}{42} \approx 51,81 \text{ (kg)}.$$

Luyện tập 1 Thời gian xem tivi trong tuần trước của học sinh (Trang 63)

Cho bảng số liệu: $[0; 5)$ có 8 HS, $[5; 10)$ có 16 HS, $[10; 15)$ có 4 HS, $[15; 20)$ có 2 HS, $[20; 25)$ có 2 HS.

Lời giải: Cỡ mẫu $n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32$.

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $x_1 = 2,5; \, x_2 = 7,5; \, x_3 = 12,5; \, x_4 = 17,5; \, x_5 = 22,5$.

$$\bar{x} = \frac{8 \cdot 2,5 + 16 \cdot 7,5 + 4 \cdot 12,5 + 2 \cdot 17,5 + 2 \cdot 22,5}{32} = \frac{20 + 120 + 50 + 35 + 45}{32} = \frac{270}{32} = 8,4375 \text{ (giờ)}.$$

💡 Ý nghĩa thực tiễn: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó cho biết vị trí trung tâm của toàn bộ mẫu số liệu và thường được dùng làm đại diện tổng quát cho mẫu.

Trung Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Hoạt động 2 (HĐ2 - Trang 63 SGK)

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của $21$ cây giống: $[0; 5)$ có 3 cây; $[5; 10)$ có 8 cây; $[10; 15)$ có 7 cây; $[15; 20)$ có 3 cây.

Gọi $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{21}$ là dãy mẫu số liệu gốc đã sắp xếp. Trung vị mẫu gốc là giá trị chính giữa $x_{11}$.

Do $x_1, x_2, x_3 \in [0; 5)$ và $x_4, \dots, x_{11} \in [5; 10)$ nên trung vị chắc chắn thuộc nhóm thứ hai là $[5; 10)$.

Quy tắc chuẩn Quy trình 2 bước xác định Trung vị $M_e$

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị.
Cỡ mẫu là $n$. Nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p: [a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tần số tích lũy thoả mãn: $$m_1 + m_2 + \dots + m_p \ge \frac{n}{2}$$

Bước 2: Áp dụng công thức nội suy trung vị: $$M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - (m_1 + m_2 + \dots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$$ Trong đó:

$n$ là cỡ mẫu; $m_p$ là tần số của nhóm chứa trung vị $p$.
$a_p, a_{p+1}$ lần lượt là đầu mút trái và đầu mút phải của nhóm thứ $p$.
Quy ước: Với $p = 1$, ta xem $m_1 + \dots + m_{p-1} = 0$.

Ví dụ 2 Thời gian truy cập Internet của 56 học sinh (Trang 64 SGK)

Các nhóm: $[9,5; 12,5)$ có 3; $[12,5; 15,5)$ có 12; $[15,5; 18,5)$ có 15; $[18,5; 21,5)$ có 24; $[21,5; 24,5)$ có 2.

Cỡ mẫu $n = 56 \implies \frac{n}{2} = 28$. Trung vị là $\frac{x_{28} + x_{29}}{2}$.

Tần số tích lũy: Nhóm 1 có 3; Nhóm 2 có $3 + 12 = 15$; Nhóm 3 có $15 + 15 = 30 \ge 28$.

Do đó, nhóm chứa trung vị là nhóm thứ ba: $[15,5; 18,5)$ ($p = 3$).

Ta có: $a_3 = 15,5; \, m_3 = 15; \, m_1 + m_2 = 15; \, a_4 - a_3 = 3$.

$$M_e = 15,5 + \frac{28 - 15}{15} \cdot 3 = 15,5 + \frac{13 \cdot 3}{15} = 15,5 + 2,6 = 18,1 \text{ (phút)}.$$

Luyện tập 2 Tốc độ giao bóng của VĐV quần vợt trong 200 lần (Trang 64 SGK)

Tốc độ $v$ (km/h)	$[150; 155)$	$[155; 160)$	$[160; 165)$	$[165; 170)$	$[170; 175)$	$[175; 180)$
Số lần ($m_i$)	18	28	35	43	41	35

Cỡ mẫu $n = 200 \implies \frac{n}{2} = 100$. Tần số tích lũy: $18 \to 46 \to 81 \to 124 \ge 100$.

Nhóm chứa trung vị là $[165; 170)$ ($p = 4, a_4 = 165, m_4 = 43, \sum_{i=1}^3 m_i = 81, h = 5$).

$$M_e = 165 + \frac{100 - 81}{43} \cdot 5 = 165 + \frac{95}{43} \approx 167,21 \text{ (km/h)}.$$

💡 Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc. Nó chia mẫu số liệu thành 2 phần cân bằng: khoảng 50% số giá trị nhỏ hơn $M_e$ và khoảng 50% số giá trị lớn hơn $M_e$.

Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Hoạt động 3 (HĐ3 - Trang 64 SGK)

Với mẫu số liệu ở HĐ2 (21 cây giống), ta xác định các điểm chia dữ liệu thành 4 phần bằng nhau:

$Q_1$ (tứ phân vị thứ nhất) chia lấy 25% giá trị đầu tiên.
$Q_2$ (tứ phân vị thứ hai) chính là trung vị $M_e$.
$Q_3$ (tứ phân vị thứ ba) chia lấy 75% giá trị đầu tiên.

Bản chất phân vị 25% - 50% - 75%

Công thức chuẩn Công thức tính Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và thứ ba $Q_3$

Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm $p: [a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tổng tần số tích lũy $\ge \frac{n}{4}$.

$$Q_1 = a_p + \frac{\frac{n}{4} - (m_1 + \dots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$$

Tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $p: [a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tổng tần số tích lũy $\ge \frac{3n}{4}$.

$$Q_3 = a_p + \frac{\frac{3n}{4} - (m_1 + \dots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$$

* Lưu ý: Tứ phân vị thứ hai $Q_2 = M_e$ (trung vị). Với $p = 1$, quy ước $m_1 + \dots + m_{p-1} = 0$.

Ví dụ 3 Tính $Q_1$ và $Q_3$ cho dữ liệu Internet Ví dụ 2 ($n = 56$)

Tính $Q_1$: Ta có $\frac{n}{4} = \frac{56}{4} = 14$. Do $m_1 = 3 < 14 \le m_1 + m_2 = 15$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[12,5; 15,5)$ ($p = 2$).

$$Q_1 = 12,5 + \frac{14 - 3}{12} \cdot 3 = 12,5 + 2,75 = 15,25 \text{ (phút)}.$$

Tính $Q_3$: Ta có $\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 56}{4} = 42$. Tích lũy đến nhóm 3 là $30 < 42 \le 30 + 24 = 54$, do đó nhóm chứa $Q_3$ là $[18,5; 21,5)$ ($p = 4$).

$$Q_3 = 18,5 + \frac{42 - 30}{24} \cdot 3 = 18,5 + 1,5 = 20 \text{ (phút)}.$$

Luyện tập 3 Tìm $Q_1, Q_3$ cho dữ liệu giao bóng quần vợt ở Luyện tập 2 ($n = 200$)

• Tìm $Q_1$: $\frac{n}{4} = 50$. Tần số tích lũy: $18 \to 46 \to 81 \ge 50 \implies$ Nhóm chứa $Q_1$ là $[160; 165)$.

$$Q_1 = 160 + \frac{50 - 46}{35} \cdot 5 = 160 + \frac{20}{35} \approx 160,57 \text{ (km/h)}.$$

• Tìm $Q_3$: $\frac{3n}{4} = 150$. Tần số tích lũy: $124 \to 165 \ge 150 \implies$ Nhóm chứa $Q_3$ là $[170; 175)$.

$$Q_3 = 170 + \frac{150 - 124}{41} \cdot 5 = 170 + \frac{130}{41} \approx 173,17 \text{ (km/h)}.$$

💡 Ý nghĩa: Bộ ba tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần chứa khoảng 25% tổng số quan sát.

Mốt Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Công thức chuẩn Quy trình 2 bước tính Mốt $M_o$

Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt.
Là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng dữ liệu. Giả sử đó là nhóm thứ $j: [a_j; a_{j+1})$.

Bước 2: Áp dụng công thức mốt: $$M_o = a_j + \frac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h$$ Trong đó:

$a_j$ là đầu mút trái của nhóm chứa mốt; $h = a_{j+1} - a_j$ là độ dài của nhóm.
$m_j$ là tần số của nhóm chứa mốt; $m_{j-1}$ và $m_{j+1}$ lần lượt là tần số của nhóm đứng trước và nhóm đứng sau nó.
Quy ước: Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên ($j = 1$) thì $m_0 = 0$; nếu là nhóm cuối cùng ($j = k$) thì $m_{k+1} = 0$.

Lưu ý đặc biệt khi xác định Mốt (Trang 66 SGK):

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau.
Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.
Trường hợp không có mốt: Khi tần số của tất cả các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu không có mốt.

Lưu ý khi các nhóm có tần số bằng nhau

Ví dụ 4 Chiều cao của 50 học sinh lớp 11A (Trang 66 SGK)

Các nhóm: $[145; 150)$ (7), $[150; 155)$ (14), $[155; 160)$ (10), $[160; 165)$ (10), $[165; 170)$ (9).

Tần số lớn nhất là $14$ thuộc nhóm $[150; 155)$ ($j = 2$).

Do đó: $a_2 = 150; \, m_2 = 14; \, m_1 = 7; \, m_3 = 10; \, h = 5$.

$$M_o = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} \cdot 5 = 150 + \frac{7}{7 + 4} \cdot 5 = 150 + \frac{35}{11} \approx 153,18 \text{ (cm)}.$$

Kết luận: Đa số học sinh lớp 11A có chiều cao tập trung quanh mức 153,18 cm.

Luyện tập 4 Thời gian (phút) làm một câu hỏi thi của học sinh (Trang 66 SGK)

Nhóm: $[0,5; 10,5)$ (2); $[10,5; 20,5)$ (10); $[20,5; 30,5)$ (6); $[30,5; 40,5)$ (4); $[40,5; 50,5)$ (3).

Tần số lớn nhất là $10$ thuộc nhóm $[10,5; 20,5)$ ($j = 2, a_2 = 10,5, h = 10$).

$$M_o = 10,5 + \frac{10 - 2}{(10 - 2) + (10 - 6)} \cdot 10 = 10,5 + \frac{8}{8 + 4} \cdot 10 = 10,5 + \frac{80}{12} \approx 17,17 \text{ (phút)}.$$

Vận dụng Giải quyết trọn vẹn tình huống mở đầu Bảng 3.1 (Tiền mua xăng của 35 khách hàng)

Bảng: $[0; 30)$ (3 khách), $[30; 60)$ (15 khách), $[60; 90)$ (10 khách), $[90; 120)$ (7 khách). Cỡ mẫu $n = 35$.

1. Số trung bình $\bar{x}$:
$\bar{x} = \frac{3 \cdot 15 + 15 \cdot 45 + 10 \cdot 75 + 7 \cdot 105}{35} = \frac{2205}{35} = 63$ (nghìn đồng).

2. Trung vị $M_e$: $\frac{n}{2} = 17,5 \implies$ Nhóm $[30; 60)$ ($p = 2$).
$M_e = 30 + \frac{17,5 - 3}{15} \cdot 30 = 30 + 29 = 59$ (nghìn đồng).

3. Tứ phân vị $Q_1, Q_3$:
• $Q_1$: $\frac{n}{4} = 8,75 \implies$ Nhóm $[30; 60)$. $Q_1 = 30 + \frac{8,75 - 3}{15} \cdot 30 = 41,5$ nghìn.
• $Q_3$: $\frac{3n}{4} = 26,25 \implies$ Nhóm $[60; 90)$. $Q_3 = 60 + \frac{26,25 - 18}{10} \cdot 30 = 84,75$ nghìn.

4. Mốt $M_o$:
Tần số cực đại là 15 tại $[30; 60)$.
$M_o = 30 + \frac{15 - 3}{(15 - 3) + (15 - 10)} \cdot 30 = 30 + \frac{12}{17} \cdot 30 \approx 51,18$ (nghìn đồng).

Em Có Biết? — Xác Định Tứ Phân Vị Bằng GeoGebra

Ta có thể sử dụng phần mềm GeoGebra để trực quan hóa và xác định chính xác các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thông qua đồ thị tần số tích luỹ:

Bước 1: Lập bảng tần số tích luỹ $c_i = m_1 + \dots + m_i$.
Bước 2: Nối liên tiếp các điểm $M_1(a_1; 0), M_2(a_2; c_1), \dots, M_{k+1}(a_{k+1}; c_k)$ thành đường gấp khúc tần số tích luỹ.
Bước 3: Kẻ các đường thẳng nằm ngang $y = \frac{n}{4}, y = \frac{n}{2}, y = \frac{3n}{4}$. Hoành độ các giao điểm $B_1, B_2, B_3$ của các đường thẳng này với đường gấp khúc chính là giá trị của $Q_1, Q_2, Q_3$.

Từ Hình 3.1 ứng với số liệu Ví dụ 2: ta có $Q_1 = 15,25$; $Q_2 = 18,1$; $Q_3 = 20$.

Đồ thị tần số tích luỹ GeoGebra Hình 3.1

Hình 3.1: Đồ thị tần số tích luỹ xác định Q1, Q2, Q3 trên GeoGebra

Công thức tính số trung bình $\bar{x}$ của một mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})$ với tần số tương ứng $m_1, m_2, \dots, m_k$ và cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \dots + m_k$ là:

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa chuẩn SGK Toán 11 (trang 62), số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $$\bar{x} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_k x_k}{n}$$ Trong đó $n = \sum_{i=1}^k m_i$ là cỡ mẫu và $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện (trung bình cộng hai đầu mút) của nhóm $[a_i; a_{i+1})$. Do đó đáp án chính xác là **A**.