Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc
Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Hai đường thẳng vuông góc trong không gian (Toán 11 KNTT)
Trong thực tế xây dựng và giao thông hiện đại, các nút giao thông khác mức (như cầu vượt, hầm chui) được thiết kế để phân luồng xe cộ di chuyển thông suốt trên các cao độ khác nhau mà không bị xung đột trực tiếp.
Hình ảnh hai con đường trên nút giao thông (Hình 7.1) gợi nên hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khi các phương tiện di chuyển trên hai con đường đó, hướng chuyển động của chúng tạo với nhau một góc nhất định.
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Hoạt động 1 (HĐ1): Tiếp cận góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau $m$ và $n$. Từ một điểm $O$ tuỳ ý, vẽ đường thẳng $a$ song song với $m$ và đường thẳng $b$ song song với $n$ (Hình 7.2).
- a) Nếu $O'$ là một điểm khác $O$ và các đường thẳng $a', b'$ lần lượt đi qua $O'$ song song với $m$ và $n$, thì góc giữa $a'$ và $b'$ có bằng góc giữa $a$ và $b$ không?
Trả lời: Có. Do hai góc có các cặp cạnh tương ứng song song nên góc tạo bởi $a$ và $b$ bằng góc tạo bởi $a'$ và $b'$. - b) Nếu $m$ vuông góc với $n$ thì góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng bao nhiêu?
Trả lời: Góc giữa $a$ và $b$ bằng $90^\circ$.
Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với $a$ và $b$.
- Cách chọn điểm $O$ tiện lợi: Để xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, ta có thể lấy một điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng (chẳng hạn $O \in a$), qua $O$ kẻ đường thẳng $b' \parallel b$. Khi đó: $$\widehat{(a, b)} = \widehat{(a, b')}$$
- Phạm vi giá trị góc: Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông: $$0^\circ \le (a, b) \le 90^\circ$$
- Trường hợp song song hoặc trùng nhau: Nếu $a \parallel b$ hoặc $a \equiv b$ thì góc giữa chúng được quy ước bằng $0^\circ$.
- Tính chất bảo toàn góc: Nếu $b \parallel b'$ thì $(a, b) = (a, b')$.
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có các mặt bên là hình vuông (Hình 7.3). Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
- $AB$ và $B'C'$;
- $AC$ và $B'C'$;
- $A'C'$ và $BD$.
Hướng dẫn giải:
Do $ABCD.A'B'C'D'$ có các mặt bên là hình vuông nên $AA' = BB' = CC' = DD' = AB = CD = BC = AD$. Do đó, đáy $ABCD$ cũng là hình vuông.
- a) Ta có $B'C' \parallel BC$. Do đó: $$(AB, B'C') = (AB, BC) = \widehat{ABC} = 90^\circ$$ (vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông).
- b) Vì $B'C' \parallel BC$, nên: $$(AC, B'C') = (AC, BC) = \widehat{ACB} = 45^\circ$$ (vì đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ chia đôi góc $\widehat{BCD} = 90^\circ$).
- c) Vì tứ giác $AA'C'C$ là hình bình hành nên $A'C' \parallel AC$. Do đó: $$(A'C', BD) = (AC, BD) = 90^\circ$$ (vì hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông $ABCD$ vuông góc với nhau).
Kim tự tháp Kheops (Ai Cập) có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $230\text{ m}$, các cạnh bên bằng nhau và dài $219\text{ m}$ (Hình 7.4).
Tính góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$.
Lời giải chi tiết:
Vì $ABCD$ là hình vuông nên cạnh đáy $AB \parallel CD$. Do đó:
$$(SC, AB) = (SC, CD)$$Xét tam giác $SCD$ cân tại $S$ với $SC = SD = 219\text{ m}$ và $CD = 230\text{ m}$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $SCD$ cho góc $\widehat{SCD}$:
$$\cos \widehat{SCD} = \frac{SC^2 + CD^2 - SD^2}{2 \cdot SC \cdot CD} = \frac{219^2 + 230^2 - 219^2}{2 \cdot 219 \cdot 230} = \frac{230^2}{2 \cdot 219 \cdot 230} = \frac{230}{2 \cdot 219} = \frac{230}{438} \approx 0{,}5251$$Suy ra $\widehat{SCD} \approx 58^\circ 19'$.
Kết luận: Góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$ của kim tự tháp Kheops xấp xỉ bằng $58^\circ 19'$.
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Hoạt động 2 (HĐ2): Nhận biết hai đường thẳng vuông góc
Hình 7.5 minh hoạ hình ảnh hai cánh cửa sổ khép mở quanh bản lề đứng. Khi mở cánh cửa ở các vị trí khác nhau:
- Mép trên của cánh cửa và trục bản lề luôn tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu?
Mép trên vuông góc với trục bản lề đứng ($90^\circ$). - Mép trên của hai cánh cửa tạo nên hai đường thẳng vuông góc trong trường hợp nào?
Khi hai cánh cửa mở sao cho hướng của hai mép trên tạo thành góc $90^\circ$.
Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Vị trí tương đối khi vuông góc
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
(Khác với hình học phẳng: trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc bắt buộc phải cắt nhau).Tính chất song song và vuông góc
Cho hai đường thẳng song song $b$ và $c$. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với $b$ thì $a$ cũng vuông góc với $c$:
$$\begin{cases} b \parallel c \\ a \perp b \end{cases} \implies a \perp c$$Điều kiện vuông góc qua vectơ chỉ phương
Nếu $\vec{u}$ và $\vec{v}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $a$ và $b$ thì:
$$a \perp b \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (Hình 7.6). Chứng minh rằng $AC \perp B'D'$ khi và chỉ khi đáy $ABCD$ là hình thoi.
Chứng minh:
Do $BB'D'D$ là hình bình hành nên $B'D' \parallel BD$.
Theo định nghĩa và tính chất góc giữa hai đường thẳng, ta có:
$$(AC, B'D') = (AC, BD)$$Do đó, $AC \perp B'D' \iff AC \perp BD$.
Mặt khác, đáy $ABCD$ là hình bình hành. Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau ($AC \perp BD$) khi và chỉ khi nó là hình thoi.
Vậy $AC \perp B'D' \iff ABCD$ là hình thoi (đpcm).
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \perp CD$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $AC, BC, BD$ (Hình 7.7). Chứng minh rằng $MN \perp NP$.
Hướng dẫn giải:
- Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $AC$ và $N$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Suy ra $MN \parallel AB$.
- Trong tam giác $BCD$, $N$ là trung điểm của $BC$ và $P$ là trung điểm của $BD$ nên $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$. Suy ra $NP \parallel CD$.
- Theo giả thiết, ta có $AB \perp CD$. Vì $MN \parallel AB$ và $NP \parallel CD$, nên theo tính chất bắc cầu: $$MN \perp NP$$
Vậy tam giác $MNP$ vuông tại $N$.
3. Phương pháp giải toán & Ứng dụng thực tiễn
Hệ thống các phương pháp xác định góc và chứng minh vuông góc
| Phương pháp | Nội dung & Công thức then chốt | Phạm vi áp dụng |
|---|---|---|
| 1. Dựng đường song song |
Từ điểm $O$ thích hợp, dựng $a' \parallel a$ và $b' \parallel b$. Khi đó: $(a, b) = (a', b')$. Tính góc phẳng bằng hệ thức lượng trong tam giác. |
Khi tìm được các đường thẳng song song có sẵn trong hình chóp, lăng trụ, hình hộp. |
| 2. Định lí côsin trong tam giác |
Nếu $\widehat{AOB} = \varphi$ thì: $$\cos(a, b) = |\cos \varphi| = \frac{|OA^2 + OB^2 - AB^2|}{2 \cdot OA \cdot OB}$$ |
Khi quy về tam giác $OAB$ đã biết độ dài 3 cạnh. Lưu ý góc giữa hai đường thẳng luôn $\le 90^\circ$. |
| 3. Tích vô hướng vectơ |
Gọi $\vec{u}, \vec{v}$ là các VTCP của $a, b$: $$\cos(a, b) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ $$a \perp b \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$ |
Rất mạnh cho tứ diện đều, hình chóp có các cạnh bằng nhau hoặc góc giữa các cạnh đã biết. |
| 4. Quan hệ song song | Nếu $b \parallel c$ và $a \perp b$ thì $a \perp c$. | Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau vuông góc thông qua đường trung gian. |
Hình 7.8 mô tả khung của một ngôi nhà gỗ cổ truyền Việt Nam. Trong đó, các cấu kiện chính gồm:
- Hoành: các thanh dầm ngang song song đỡ mái.
- Quá giang: thanh dầm chính nằm ngang nối hai đầu cột đối diện.
- Xà cái: thanh xà dọc liên kết các bộ vì kèo với nhau.
- Rui: các thanh gỗ đặt dốc theo mái từ đỉnh nóc xuống hiên để đỡ mè và ngói.
- Cột: các trụ thẳng đứng chịu lực chính toàn bộ ngôi nhà.
- Cột (5) thẳng đứng vuông góc với hoành (1) và xà cái (3) nằm ngang.
- Quá giang (2) nằm ngang vuông góc với hoành (1) và xà cái (3) chạy dọc nhà.
Ghi nhớ cốt lõi:
✔ Đường thẳng song song: $(a, b) = 0^\circ$ khi $a \parallel b$.
✔ Đặc biệt: Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Do đó: $(AB, B'C') = (AB, BC) = \widehat{ABC}$.
Vì đáy $ABC$ là tam giác đều nên $\widehat{ABC} = 60^\circ$.
Vậy góc giữa $AB$ và $B'C'$ bằng $60^\circ$.
Do đó: $(AC, DA') = (AC, CB')$.
Xét tam giác $ACB'$, các cạnh $AC, CB', AB'$ lần lượt là đường chéo của các mặt hình vuông bằng nhau của hình lập phương.
Suy ra $AC = CB' = AB' = a\sqrt{2}$.
Do đó $\triangle ACB'$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{ACB'} = 60^\circ$.
Vậy góc giữa $AC$ và $DA'$ bằng $60^\circ$.
Mặt khác, theo giả thiết tam giác $BCD$ vuông tại $B$ nên $BD \perp BC$.
Vì $MN \parallel BD$ và $BD \perp BC$, theo tính chất ta suy ra $MN \perp BC$.
$\frac{CG}{CM} = \frac{2}{3}$ và $\frac{CK}{CN} = \frac{2}{3}$.
Theo định lí Ta-lét trong tam giác $CMN$, ta có $GK \parallel MN$.
Từ kết quả câu trước, ta đã có $MN \parallel BD$ và $BD \perp BC \implies MN \perp BC$.
Do $GK \parallel MN$ và $MN \perp BC$, ta suy ra $GK \perp BC$.
1) Đáy $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$. Mặt khác $BD \parallel B'D' \implies AC \perp B'D'$.
2) Mặt $ABB'A'$ là hình thoi nên $AB' \perp A'B$. Mặt khác $A'B \parallel D'C \implies AB' \perp CD'$.
3) Mặt $ADD'A'$ là hình thoi nên $AD' \perp A'D$. Mặt khác $A'D \parallel B'C \implies AD' \perp B'C$.
Vậy tất cả các cặp cạnh đối diện của tứ diện $ACB'D'$ đều vuông góc với nhau từng đôi một.
Do đó: $(SC, AB) = (SC, CD) = \widehat{SCD}$.
Xét tam giác $SCD$ có $SC = SD = 219\text{ m}$ và $CD = 230\text{ m}$. Áp dụng định lí côsin:
$$\cos \widehat{SCD} = \frac{SC^2 + CD^2 - SD^2}{2 \cdot SC \cdot CD} = \frac{230^2}{2 \cdot 219 \cdot 230} = \frac{230}{438} \approx 0{,}5251$$
Suy ra $\widehat{SCD} \approx 58^\circ 19'$.
Vậy góc giữa $SC$ và $AB$ xấp xỉ bằng $58^\circ 19'$.
- Cột (5) có phương thẳng đứng nên vuông góc với các cấu kiện nằm ngang như hoành (1) và xà cái (3). Suy ra A và B đúng.
- Quá giang (2) là thanh dầm ngang bắc ngang theo chiều rộng của nhà, trong khi xà cái (3) là xà dọc chạy theo chiều dài nhà liên kết các vì kèo. Do đó quá giang (2) và xà cái (3) vuông góc với nhau (khẳng định D đúng) chứ không song song với nhau. Khẳng định C sai.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 1 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!