Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Định nghĩa, công thức tính số hoán vị P_n = n!, chỉnh hợp A_n^k = n!/(n-k)!, tổ hợp C_n^k = n!/(k!(n-k)!); so sánh phân biệt tính thứ tự; ứng dụng giải bài toán đếm thực tiễn và cách bấm máy tính cầm tay.
Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với ba công cụ cơ bản và đắc lực nhất của đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Nắm vững bản chất, phân biệt sự khác nhau về tính thứ tự, thiết lập chính xác các công thức tính toán cũng như thuần thục kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay sẽ giúp các em giải quyết nhanh gọn các bài toán đếm phức tạp trong đời sống và khoa học kĩ thuật.
Trong một trận bóng đá, sau 90 phút thi đấu chính thức và 30 phút hiệp phụ, hai đội hòa nhau và phải giải quyết thắng thua bằng loạt đá luân lưu 11 m. Huấn luyện viên của mỗi đội cần chọn 5 cầu thủ đá luân lưu trong 11 cầu thủ đang thi đấu và xếp thứ tự đá từ quả thứ nhất đến quả thứ năm.
Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ và phân công thứ tự đá luân lưu như vậy?
Sơ đồ bố trí cầu thủ trên sân thi đấu
HOÁN VỊ
Trong một buổi liên hoan, ban tổ chức muốn mời bốn bạn: Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng ngang để phỏng vấn.
a) Hãy liệt kê một số cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên?
Lời giải HĐ 1:
a) Một số cách xếp thứ tự: (Hà, Mai, Nam, Đạt), (Mai, Hà, Đạt, Nam), (Nam, Đạt, Hà, Mai),...
b) Để xếp 4 bạn vào 4 vị trí từ trái sang phải:
- Vị trí 1: Có 4 cách chọn (1 trong 4 bạn).
- Vị trí 2: Có 3 cách chọn (chọn 1 trong 3 bạn còn lại).
- Vị trí 3: Có 2 cách chọn (chọn 1 trong 2 bạn còn lại).
- Vị trí 4: Có 1 cách chọn (bạn cuối cùng).
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là: $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ (cách).
Bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt
Một hoán vị của một tập hợp có $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử đó (với $n$ là một số nguyên dương).
- Tích $n(n - 1) \dots 2 \cdot 1$ được viết tắt là $n!$ (đọc là $n$ giai thừa). Như vậy: $$\mathbf{P_n = n!}$$
- Quy ước: $\mathbf{0! = 1}$.
- Ví dụ: $1! = 1$, $2! = 2 \cdot 1 = 2$, $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$, $6! = 720$.
Có 5 bạn học sinh ngồi vào một bàn dài gồm 5 ghế đơn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn đó?
Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế đơn là một hoán vị của 5 học sinh đó.
Do đó, số cách sắp xếp chỗ ngồi là: $$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ (cách)}.$$
Một nhóm bạn gồm 6 người muốn chụp ảnh kỉ niệm khi đi dã ngoại. Họ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hàng chụp ảnh?
Mỗi cách sắp xếp 6 bạn thành một hàng ngang là một hoán vị của 6 phần tử.
Số cách sắp xếp hàng chụp ảnh là: $P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$ (cách).
CHỈNH HỢP
Trong một lớp học có nhóm 10T gồm 4 bạn: Tuấn, Hương, Việt, Dung. Giáo viên muốn chọn ra 2 bạn từ nhóm 10T để làm nhóm trưởng và nhóm phó.
a) Hãy liệt kê một số cách chọn hai bạn vào hai vị trí trên.
b) Có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Lời giải HĐ 2:
a) Một số cách chọn (Nhóm trưởng - Nhóm phó): (Tuấn - Hương), (Hương - Tuấn), (Tuấn - Việt), (Việt - Dung),...
b) Quá trình chọn gồm 2 công đoạn nối tiếp:
- Chọn nhóm trưởng: Có 4 cách chọn (1 trong 4 bạn).
- Chọn nhóm phó: Có 3 cách chọn (1 bạn trong 3 bạn còn lại).
Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: $4 \times 3 = 12$ (cách).
Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự $k$ phần tử từ một tập hợp gồm $n$ phần tử ($1 \le k \le n$).
Mỗi hoán vị của $n$ phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó. Do đó:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 6 chữ số đó.
Do đó, số các số tự nhiên thỏa mãn là: $$A_6^3 = \frac{6!}{(6 - 3)!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \text{ (số)}.$$
Một câu lạc bộ cờ vua có 10 thành viên. Ban chủ nhiệm muốn chọn ra 3 người vào ba vị trí: 1 Chủ nhiệm, 1 Phó chủ nhiệm và 1 Thư kí. Có bao nhiêu cách chọn?
Vì ba vị trí có phân công chức danh rõ ràng (có thứ tự phân công nhiệm vụ), nên mỗi cách chọn 3 người từ 10 thành viên là một chỉnh hợp chập 3 của 10.
Số cách chọn là: $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10 - 3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ (cách).
TỔ HỢP
Trong một hội nghị có 5 đại biểu tham dự: $A, B, C, D, E$. Hãy nêu một số cách chọn ra 3 đại biểu để thành lập ban thư kí hội nghị. Việc đổi thứ tự các đại biểu được chọn có tạo thành một ban thư kí mới không? Có bao nhiêu cách chọn 3 đại biểu như vậy?
Lời giải HĐ 3:
Một số cách chọn: $\{A, B, C\}$, $\{A, B, D\}$, $\{A, B, E\}$, $\{B, C, D\}$,...
Trong ban thư kí, cả 3 đại biểu đều có vai trò như nhau. Do đó, việc đổi thứ tự các đại biểu không tạo thành một ban thư kí mới (tập hợp các thành viên không đổi).
Nếu ta xếp thứ tự 3 đại biểu thì có $A_5^3 = 60$ cách. Vì mỗi nhóm 3 người có $3! = 6$ cách sắp xếp thứ tự nhưng chỉ tạo thành 1 ban thư kí duy nhất, nên số cách chọn ban thư kí là:
$$\frac{A_5^3}{3!} = \frac{60}{6} = 10 \text{ (cách)}.$$
Một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một cách chọn $k$ phần tử từ một tập hợp gồm $n$ phần tử ($0 \le k \le n$, với $n$ là số nguyên dương).
- Khác biệt cốt lõi: Khi chọn một tổ hợp ta không quan tâm đến thứ tự của các phần tử được chọn (chỉ quan tâm đến việc có mặt hay không có mặt).
- Mối liên hệ giữa Chỉnh hợp và Tổ hợp: Mỗi cách chọn $k$ phần tử và sắp thứ tự (chỉnh hợp) tương đương với việc chọn ra $k$ phần tử (tổ hợp) rồi xếp thứ tự $k$ phần tử đó ($k!$ hoán vị): $$\mathbf{A_n^k = k! \cdot C_n^k \implies C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}}$$
- Quy ước và trường hợp đặc biệt: $$C_n^0 = 1, \quad C_n^n = 1, \quad C_n^1 = n$$
- Tính chất đối xứng: Lấy ra $k$ phần tử cũng tương đương với việc để lại $n - k$ phần tử: $$\mathbf{C_n^k = C_n^{n - k} \quad (0 \le k \le n)}$$
Trong trò chơi cá ngựa, có 4 viên xúc xắc cùng loại. Người chơi gieo đồng thời 4 viên xúc xắc. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra nếu người ta chỉ quan tâm đến 3 con xúc xắc bất kì?
Do 4 con xúc xắc có kích thước và đặc điểm như nhau, việc chọn ra 3 con xúc xắc bất kì không xét đến thứ tự.
Số cách chọn 3 con xúc xắc từ 4 con xúc xắc là: $$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 \text{ (cách)}.$$
Tết trồng cây • Lời dạy của Bác Hồ
Trong ngân hàng câu hỏi môn Vật lí gồm 15 câu lí thuyết và 10 câu bài tập. Giáo viên muốn chọn ra một đề thi gồm 5 câu lí thuyết và 3 câu bài tập. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đề thi?
Việc chọn các câu hỏi trong đề thi không phân biệt thứ tự sắp xếp câu hỏi:
- Chọn 5 câu lí thuyết từ 15 câu lí thuyết có: $C_{15}^5 = \frac{15!}{5!10!} = 3\,003$ cách.
- Chọn 3 câu bài tập từ 10 câu bài tập có: $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = 120$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách tạo ra đề thi là: $$3\,003 \times 120 = 360\,360 \text{ (cách)}.$$
ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
Một gia đình lên kế hoạch du lịch 5 địa điểm nổi tiếng: Hạ Long, Sa Pa, Huế, Đà Nẵng, Nha Trang.
a) Có bao nhiêu cách xếp lịch trình tham quan hết cả 5 địa điểm trên?
b) Nếu gia đình chỉ đủ thời gian ghé thăm 3 trong 5 địa điểm trên theo thứ tự trước sau, có bao nhiêu lịch trình có thể?
c) Nếu gia đình muốn chọn 3 địa điểm trong 5 địa điểm đó để tham quan (chưa xét thứ tự), có bao nhiêu cách chọn?
a) Mỗi lịch trình tham quan hết cả 5 địa điểm là một hoán vị của 5 địa điểm. Do đó có:
b) Mỗi lịch trình tham quan 3 địa điểm theo thứ tự trước sau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 địa điểm. Do đó có:
c) Mỗi cách chọn 3 địa điểm trong 5 địa điểm (không tính thứ tự) là một tổ hợp chập 3 của 5 địa điểm. Do đó có:
Trở lại bài toán mở đầu: Huấn luyện viên cần chọn 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ đang thi đấu trên sân và phân công thứ tự đá từ quả thứ 1 đến quả thứ 5. Có bao nhiêu cách chọn?
Mỗi cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và xếp thứ tự đá luân lưu là một chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử.
Số cách chọn là: $$A_{11}^5 = \frac{11!}{(11 - 5)!} = \frac{11!}{6!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 55\,440 \text{ (cách)}.$$
Kết luận: Huấn luyện viên có tới $55\,440$ phương án lựa chọn và phân công danh sách 5 cầu thủ đá luân lưu!
Sơ đồ chiến thuật trên sân
Một câu lạc bộ có 20 học sinh gồm 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 5 bạn tham dự diễn đàn thanh niên.
a) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn bất kì?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn trong đó có đúng 3 bạn nam và 2 bạn nữ?
c) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn có ít nhất một bạn nữ?
a) Chọn 5 bạn bất kì:
Chọn 5 bạn từ 20 bạn (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 5 của 20:
b) Chọn 5 bạn gồm đúng 3 nam và 2 nữ:
- Chọn 3 bạn nam từ 12 bạn nam có: $C_{12}^3 = 220$ cách.
- Chọn 2 bạn nữ từ 8 bạn nữ có: $C_8^2 = 28$ cách.
Theo quy tắc nhân, có: $220 \times 28 = 6\,160$ cách.
c) Chọn 5 bạn có ít nhất một bạn nữ:
Sử dụng phương pháp phần bù (biến cố đối):
- Số cách chọn 5 bạn tùy ý: $15\,504$ cách.
- Trường hợp không có bạn nữ nào (cả 5 bạn đều là nam): $C_{12}^5 = 792$ cách.
Vậy số cách chọn ban đại diện có ít nhất một nữ là:
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY & BẢNG SO SÁNH TỔNG KẾT
Dùng phím x! (màu vàng phía trên phím x⁻¹).
Ví dụ tính $6!$: Bấm 6 [SHIFT] [x⁻¹] [=] → Cho kết quả: 720.
Dùng phím nPr (màu vàng phía trên phím ×).
Ví dụ tính $A_{10}^3$: Bấm 10 [SHIFT] [×] 3 [=] → Cho kết quả: 720.
Dùng phím nCr (màu vàng phía trên phím ÷).
Ví dụ tính $C_{12}^4$: Bấm 12 [SHIFT] [÷] 4 [=] → Cho kết quả: 495.
| Tiêu chí so sánh | Hoán vị ($P_n$) | Chỉnh hợp ($A_n^k$) | Tổ hợp ($C_n^k$) |
|---|---|---|---|
| Số phần tử chọn | Lấy toàn bộ $n$ phần tử | Lấy $k$ phần tử ($1 \le k \le n$) | Lấy $k$ phần tử ($0 \le k \le n$) |
| Thứ tự sắp xếp | Có xét thứ tự | Có xét thứ tự | Không xét thứ tự |
| Công thức tính | $P_n = n!$ | $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ | $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| Mối quan hệ | $P_n = A_n^n$ | $$A_n^k = k! \cdot C_n^k \iff C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$$ | |
| Phím bấm máy tính | [SHIFT] [x⁻¹] | [SHIFT] [×] | [SHIFT] [÷] |
1. Leonardo Fibonacci và bài toán lát gạch
Nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci (1170 – 1250) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thời Trung cổ. Trong tác phẩm nổi tiếng Liber Abaci (1202), ông đã giới thiệu dãy số Fibonacci kinh điển: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots$$ với quy luật số sau bằng tổng hai số liền trước: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.
Một ứng dụng tổ hợp tuyệt đẹp của dãy số này là: Số cách lát một nền nhà hình chữ nhật kích thước $2 \times n$ bằng các thanh gạch kích thước $2 \times 1$ và $1 \times 2$ chính bằng số Fibonacci $F_{n+1}$!
2. Số nước đi tối đa của một ván cờ vua
Theo quy định của Liên đoàn Cờ vua Quốc tế (FIDE), nếu sau 50 nước đi liên tiếp của cả hai bên mà không có quân cờ nào bị ăn và không có nước đi tốt nào, ván cờ sẽ xử hòa. Dựa trên các nguyên tắc tổ hợp và số quân cờ, người ta đã chứng minh rằng: Số nước đi tối đa của một ván cờ vua tiêu chuẩn là đúng $5\,950$ nước đi!
Leonardo Fibonacci (1170 – 1250)
Sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử khác nhau thành một hàng là một hoán vị của $n$ phần tử đó.
Số cách sắp xếp là: $P_n = n!$.
Lời giải chi tiết:
Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 bức tranh.
Do đó, số cách xếp là:
$$P_{10} = 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3\,628\,800 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ và $a \neq 0$.
- Bước 1: Chọn chữ số hàng trăm $a$.
- Bước 2: Chọn 2 chữ số còn lại $b, c$ từ 4 chữ số còn lại rồi xếp thứ tự (chỉnh hợp $A_4^2$).
- Áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết:
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a, b, c$ đôi một khác nhau và $a \neq 0$.
- Chọn chữ số $a$: Do $a \neq 0$ nên $a \in \{1, 2, 3, 4\}$, có 4 cách chọn.
- Chọn 2 chữ số $b$ và $c$: Lấy 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại trong tập $\{0, 1, 2, 3, 4\} \setminus \{a\}$ và sắp thứ tự, có $A_4^2 = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên lập được là:
$$4 \times 12 = 48 \text{ (số)}.$$
Chọn đáp án A.
Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $S = \{1, 2, 3, \dots, 99\}$. Số phần tử của tập hợp $S$ là $n = 99$.
- Một tập con gồm $k$ phần tử của tập hợp $n$ phần tử là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó (vì trong tập con không phân biệt thứ tự phần tử).
- Số tập con gồm $k$ phần tử là $C_n^k$.
Lời giải chi tiết:
Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $S = \{1, 2, \dots, 99\}$, có tất cả 99 phần tử.
- Số tập hợp con gồm 2 phần tử của $S$ là:
$$C_{99}^2 = \frac{99!}{2!(99 - 2)!} = \frac{99 \times 98}{2 \times 1} = 4\,851 \text{ (tập hợp)}.$$
- Số tập hợp con gồm 3 phần tử của $S$ là:
$$C_{99}^3 = \frac{99!}{3!(99 - 3)!} = \frac{99 \times 98 \times 97}{3 \times 2 \times 1} = 156\,849 \text{ (tập hợp)}.$$
Chọn đáp án A.
Để chọn ra 2 viên bi có màu khác nhau từ hộp gồm các viên bi xanh và đỏ, ta phải chọn đúng 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ.
Áp dụng quy tắc nhân:
- Bước 1: Chọn 1 viên bi xanh từ 5 viên bi xanh: có $C_5^1 = 5$ cách.
- Bước 2: Chọn 1 viên bi đỏ từ 7 viên bi đỏ: có $C_7^1 = 7$ cách.
Lời giải chi tiết:
Để chọn 2 viên bi có màu khác nhau, ta cần lấy 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ:
- Chọn 1 viên bi màu xanh từ 5 viên bi xanh có $C_5^1 = 5$ cách.
- Chọn 1 viên bi màu đỏ từ 7 viên bi đỏ có $C_7^1 = 7$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 viên bi khác màu là:
$$5 \times 7 = 35 \text{ (cách)}.$$
Chọn đáp án A.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 2 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
a) Cả 4 bạn được chọn đều là nam?
b) Chọn 4 bạn bất kì không phân biệt nam nữ?
c) Chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!