Theo định nghĩa SGK Toán 11 (KNTT), hàm số $y = f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.\n\nĐiều kiện này tương đương với: hàm số xác định tại $x_0$, tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ và cả hai giới hạn một bên này đều bằng $f(x_0)$.

Hàm số $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ không xác định tại các điểm $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), do đó hàm số chỉ liên tục trên từng khoảng xác định $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$, chứ **không** liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$.

Vì các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên:\n$$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2, \quad \lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$$\nTheo tính chất giới hạn và tính liên tục của hiệu hai hàm số:\n$$\lim_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 2\lim_{x \to 1} f(x) - \lim_{x \to 1} g(x) = 2 f(1) - g(1)$$\nTheo đề bài ta có:\n$$2(2) - g(1) = 3 \implies 4 - g(1) = 3 \implies g(1) = 1.$$

Hàm số $f(x) = \frac{x}{x^2 + 5x + 6}$ là hàm phân thức hữu tỉ.\nĐiều kiện xác định của hàm số là mẫu số khác 0:\n$$x^2 + 5x + 6 \ne 0 \iff (x + 2)(x + 3) \ne 0 \iff x \ne -2 \text{ và } x \ne -3.$$\nTập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-3; -2\} = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$.\nTheo định lí về tính liên tục của hàm phân thức hữu tỉ, hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của nó: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

Ta có:\n- Giá trị hàm số tại $x = 1$: $f(1) = 4 - 1 = 3$.\n- Giới hạn bên phải khi $x \to 1^+$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4 - x) = 4 - 1 = 3$.\n- Giới hạn bên trái khi $x \to 1^-$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 + x^2) = 1 + 1^2 = 2$.\nVì $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \ne 3 = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ nên không tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 1} f(x)$. Do đó, hàm số gián đoạn tại điểm $x = 1$.

- Với $x < 1$: $f(x) = x + 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty; 1)$.\n- Với $x > 1$: $f(x) = 4 - ax^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(1; +\infty)$.\n- Do đó, để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, hàm số phải liên tục tại điểm nối $x = 1$:\n+ $f(1) = 1 + 1 = 2$.\n+ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$.\n+ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4 - ax^2) = 4 - a(1)^2 = 4 - a$.\nĐể hàm số liên tục tại $x = 1$ thì: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \iff 4 - a = 2 \iff a = 2$.

Với $0,5 < x \le 30$, khách hàng phải trả:\n- $10$ nghìn đồng cho $0,5\text{ km}$ đầu tiên.\n- Đoạn đường vượt quá $0,5\text{ km}$ là $x - 0,5\text{ (km)}$, với đơn giá $13,5$ nghìn đồng/km.\nVậy tổng số tiền là: $T(x) = 10 + 13,5(x - 0,5)$ (nghìn đồng).

Ta kiểm tra tính liên tục tại hai điểm tiếp giáp:\n1. Tại $x = 0,5$:\n- $T(0,5) = 10$.\n- $\lim_{x \to 0,5^-} T(x) = 10$.\n- $\lim_{x \to 0,5^+} T(x) = 10 + 13,5(0,5 - 0,5) = 10$.\n$\implies T(x)$ liên tục tại $x = 0,5$.\n\n2. Tại $x = 30$:\n- $T(30) = 10 + 13,5(30 - 0,5) = 10 + 13,5 \times 29,5 = 408,25$.\n- $\lim_{x \to 30^-} T(x) = 408,25$.\n- $\lim_{x \to 30^+} T(x) = 408,25 + 11(30 - 30) = 408,25$.\n$\implies T(x)$ liên tục tại $x = 30$.\n\nVì hàm số liên tục trên từng khoảng mở và liên tục tại cả hai điểm chuyển đổi giá nên $T(x)$ liên tục trên toàn bộ khoảng $(0; +\infty)$.

Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$, là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục trên các đoạn $[-2; -1]$, $[-1; 1]$, $[1; 2]$.\nTa tính các giá trị:\n- $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$\n- $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$\n$\implies f(-2) \cdot f(-1) = (-1)(3) = -3 < 0 \implies$ có ít nhất 1 nghiệm $c_1 \in (-2; -1)$.\n- $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1 < 0$\n$\implies f(-1) \cdot f(1) = (3)(-1) = -3 < 0 \implies$ có ít nhất 1 nghiệm $c_2 \in (-1; 1)$.\n- $f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$\n$\implies f(1) \cdot f(2) = (-1)(3) = -3 < 0 \implies$ có ít nhất 1 nghiệm $c_3 \in (1; 2)$.\nVì ba khoảng $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 2)$ rời nhau và đều nằm trong khoảng $(-2; 2)$ nên phương trình có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt trong khoảng $(-2; 2)$.