Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
Khái niệm tam thức bậc hai, định lí về dấu của tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng thực tiễn.
- Tam thức bậc hai
- Dấu của tam thức bậc hai
- Bất phương trình bậc hai
- Giải thích định lí về dấu của tam thức bậc hai từ việc quan sát đồ thị của hàm bậc hai.
- Giải bất phương trình bậc hai.
- Vận dụng bất phương trình bậc hai vào giải quyết bài toán thực tiễn.
Xét bài toán rào vườn ở Bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi:
1 Dấu của tam thức bậc hai
Hãy chỉ ra một vài đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:
Xem lời giải HĐ1
Khai triển các biểu thức:
- $A = 0,5x^2$ (có bậc bằng 2).
- $B = -x^2 + 1$ (có bậc bằng 2).
- $C = x^2 + x + 1$ (có bậc bằng 2).
- $D = (1-x)(2x+1) = -2x^2 + x + 1$ (có bậc bằng 2).
Đặc điểm chung: Tất cả đều là đa thức một biến $x$, bậc cao nhất của biến là bậc 2, có dạng tổng quát là đa thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$).
Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $ax^2 + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là những số thực cho trước (với $a \ne 0$), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.
Người ta thường viết $f(x) = ax^2 + bx + c$. Các đa thức đã cho trong HĐ1 là những tam thức bậc hai. Ở đa thức $A$, ta có $a = 0,5; b = 0; c = 0$.
Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai:
Xem lời giải Luyện tập 1
Biểu thức là tam thức bậc hai: $C = -\dfrac{2}{3}x^2 + 7x - 4$ (với $a = -\dfrac{2}{3} \ne 0, b = 7, c = -4$).
Các biểu thức còn lại không phải tam thức bậc hai vì:
- $A$ chứa căn thức $\sqrt{x}$.
- $B$ là đa thức bậc bốn trùng phương.
- $D$ là biểu thức phân thức với ẩn ở mẫu số $\dfrac{1}{x}$.
Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$.
Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = x^2 - 4x + 3$.
a) Xác định hệ số $a$. Tính $f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)$ và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số $a$.
b) Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ (H.6.17). Xét trên từng khoảng $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$, đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục $Ox$?
c) Nhận xét về dấu của $f(x)$ và dấu của hệ số $a$ trên từng khoảng đó.
Xem lời giải HĐ2
a) Hệ số $a = 1 > 0$.
- $f(0) = 3 > 0$ (cùng dấu với $a$);
- $f(1) = 0$;
- $f(2) = -1 < 0$ (trái dấu với $a$);
- $f(3) = 0$;
- $f(4) = 3 > 0$ (cùng dấu với $a$).
b) Quan sát Hình 6.17:
- Trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$, đồ thị nằm phía trên trục $Ox$.
- Trên khoảng $(1; 3)$, đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$.
c) Nhận xét:
- Với $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ thì $f(x) > 0$ (cùng dấu với hệ số $a = 1$).
- Với $x \in (1; 3)$ thì $f(x) < 0$ (trái dấu với hệ số $a = 1$).
Cho đồ thị hàm số $y = g(x) = -2x^2 + x + 3$ như Hình 6.18.
a) Xét trên từng khoảng $(-\infty; -1)$, $\left(-1; \dfrac{3}{2}\right)$, $\left(\dfrac{3}{2}; +\infty\right)$, đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ hay nằm phía dưới trục $Ox$?
b) Nhận xét về dấu của $g(x)$ và dấu của hệ số $a$ trên từng khoảng đó.
Xem lời giải HĐ3
a) Quan sát Hình 6.18:
- Trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $\left(\dfrac{3}{2}; +\infty\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$.
- Trên khoảng $\left(-1; \dfrac{3}{2}\right)$, đồ thị nằm phía trên trục $Ox$.
b) Hệ số $a = -2 < 0$. Nhận xét:
- Với $x \in (-\infty; -1) \cup \left(\dfrac{3}{2}; +\infty\right)$ thì $g(x) < 0$ (cùng dấu với $a$).
- Với $x \in \left(-1; \dfrac{3}{2}\right)$ thì $g(x) > 0$ (trái dấu với $a$).
Nêu nội dung thay vào ô có dấu "?" trong bảng sau cho thích hợp:
Xem nội dung điền vào ô "?" ở trường hợp $a < 0$
Nội dung thay vào các ô có dấu "?" ở trường hợp $a < 0$:
- Khi $\Delta < 0$: Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục $Ox$.
- Khi $\Delta = 0$: Đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ và tiếp xúc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x = -\dfrac{b}{2a}$.
- Khi $\Delta > 0$: Đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$; Đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ khi $x_1 < x < x_2$.
Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$).
- Nếu $\Delta < 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
- Nếu $\Delta = 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \ne -\dfrac{b}{2a}$ và $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
- Nếu $\Delta > 0$ thì tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ ($x_1 < x_2$). Khi đó:
- $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$;
- $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in (x_1; x_2)$.
Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai có thể thay $\Delta$ bởi $\Delta'$.
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $x^2 + x + 1$; b) $-\dfrac{3}{2}x^2 + 9x - \dfrac{27}{2}$; c) $2x^2 + 6x - 8$.
a) $f(x) = x^2 + x + 1$ có $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ và $a = 1 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
b) $f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2 + 9x - \dfrac{27}{2}$ có $\Delta = 0$ và $a = -\dfrac{3}{2} < 0$ nên $f(x)$ có nghiệm kép $x = 3$ và $f(x) < 0$ với mọi $x \ne 3$.
c) Dễ thấy $f(x) = 2x^2 + 6x - 8$ có $\Delta' = 9 - 2(-8) = 25 > 0$, $a = 2 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1 = -4; x_2 = 1$.
Do đó ta có bảng xét dấu $f(x)$:
| $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $1$ | $+\infty$ | |
| $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Suy ra $f(x) > 0$ với mọi $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$ và $f(x) < 0$ với mọi $x \in (-4; 1)$.
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $-3x^2 + x - \sqrt{2}$; b) $x^2 + 8x + 16$; c) $-2x^2 + 7x - 3$.
Xem lời giải Luyện tập 2
a) $f(x) = -3x^2 + x - \sqrt{2}$:
Có $\Delta = 1^2 - 4(-3)(-\sqrt{2}) = 1 - 12\sqrt{2} < 0$ và hệ số $a = -3 < 0$.
Do đó $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
b) $f(x) = x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$:
Có $\Delta' = 4^2 - 16 = 0$ và hệ số $a = 1 > 0$.
Do đó $f(x) > 0$ với mọi $x \ne -4$ và $f(-4) = 0$.
c) $f(x) = -2x^2 + 7x - 3$:
Có $\Delta = 7^2 - 4(-2)(-3) = 49 - 24 = 25 > 0$ và hệ số $a = -2 < 0$.
Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 = \dfrac{-7 + 5}{-4} = \dfrac{1}{2}$ và $x_2 = \dfrac{-7 - 5}{-4} = 3$.
Theo quy tắc "trong trái, ngoài cùng":
- $f(x) > 0$ với mọi $x \in \left(\dfrac{1}{2}; 3\right)$;
- $f(x) < 0$ với mọi $x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{2}\right) \cup (3; +\infty)$;
- $f(x) = 0$ tại $x = \dfrac{1}{2}$ và $x = 3$.
2 Bất phương trình bậc hai
Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48\text{ m}^2$, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích $S(x) = -2x^2 + 20x$ với $48$.
Xem lời giải HĐ5
Yêu cầu diện tích không nhỏ hơn $48\text{ m}^2$ nghĩa là: $$-2x^2 + 20x \ge 48 \iff 2x^2 - 20x + 48 \le 0 \quad (1).$$
Từ HĐ5, ta có $2x^2 - 20x + 48 \le 0$ (1). Đây là một bất phương trình bậc hai.
- Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $ax^2 + bx + c \ge 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$), trong đó $a, b, c$ là những số thực đã cho và $a \ne 0$.
- Số thực $x_0$ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c > 0$, nếu $ax_0^2 + bx_0 + c > 0$. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c > 0$ gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.
- Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.
Giải các bất phương trình sau:
a) $3x^2 + x + 5 \le 0$; b) $-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 \ge 0$; c) $-x^2 + 2x + 1 > 0$.
a) Tam thức $f(x) = 3x^2 + x + 5$ có $\Delta = -59 < 0$, hệ số $a = 3 > 0$ nên $f(x)$ luôn dương (cùng dấu với $a$) với mọi $x$, tức là $3x^2 + x + 5 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
b) Tam thức $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1$ có $\Delta' = 0$, hệ số $a = -3 < 0$ nên $f(x)$ có nghiệm kép $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ và $f(x)$ luôn âm (cùng dấu với $a$) với mọi $x \ne \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, tức là $-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 < 0$ với mọi $x \ne \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
c) Tam thức $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ có $\Delta' = 2 > 0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ và $x_2 = 1 + \sqrt{2}$. Mặt khác $a = -1 < 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:
| $x$ | $-\infty$ | $1-\sqrt{2}$ | $1+\sqrt{2}$ | $+\infty$ | |
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.
Giải bất phương trình (1), từ đó suy ra lời giải cho bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu.
Tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 - 20x + 48$ có hai nghiệm $x_1 = 4; x_2 = 6$ và hệ số $a = 2 > 0$.
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn $[4; 6]$.
Kết luận: Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng $4\text{ m}$ và nhỏ hơn hoặc bằng $6\text{ m}$ thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn $48\text{ m}^2$.
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) $-5x^2 + x - 1 \le 0$; b) $x^2 - 8x + 16 \le 0$; c) $x^2 - x - 6 > 0$.
Xem lời giải Luyện tập 3
a) $-5x^2 + x - 1 \le 0$:
Tam thức có $\Delta = 1 - 20 = -19 < 0$ và hệ số $a = -5 < 0$, nên $-5x^2 + x - 1 < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \mathbb{R}$.
b) $x^2 - 8x + 16 \le 0$:
Ta có $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình $(x - 4)^2 \le 0$ chỉ xảy ra dấu bằng khi $x - 4 = 0 \iff x = 4$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{4\}$.
c) $x^2 - x - 6 > 0$:
Tam thức $x^2 - x - 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 = -2, x_2 = 3$ và hệ số $a = 1 > 0$.
Theo quy tắc "trong trái, ngoài cùng", tam thức dương ở ngoài khoảng hai nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.
Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai: $$h(t) = -4,9t^2 + 20t + 1,$$ ở đó độ cao $h(t)$ tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây. Trong khoảng thời gian nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên $5\text{ m}$ so với mặt đất?
Xem lời giải Vận dụng
Quả bóng ở độ cao trên $5\text{ m}$ khi và chỉ khi: $$h(t) > 5 \iff -4,9t^2 + 20t + 1 > 5 \iff -4,9t^2 + 20t - 4 > 0 \iff 4,9t^2 - 20t + 4 < 0.$$
Xét tam thức bậc hai $4,9t^2 - 20t + 4 = 0$ có $\Delta' = (-10)^2 - 4,9 \cdot 4 = 100 - 19,6 = 80,4 > 0$.
Hai nghiệm phân biệt:
$$t_1 = \dfrac{10 - \sqrt{80,4}}{4,9} \approx 0,21\text{ (giây)}, \quad t_2 = \dfrac{10 + \sqrt{80,4}}{4,9} \approx 3,87\text{ (giây)}.$$
Vì hệ số $a = 4,9 > 0$ nên $4,9t^2 - 20t + 4 < 0$ khi $t_1 < t < t_2$, tức là khoảng từ $0,21\text{ s}$ đến $3,87\text{ s}$.
Kết luận: Trong khoảng thời gian xấp xỉ từ $0,21\text{ giây}$ đến $3,87\text{ giây}$ trong quá trình bay, quả bóng sẽ ở độ cao trên $5\text{ m}$ so với mặt đất.
Ta có thể dùng máy tính cầm tay để giải bất phương trình bậc hai. Sau khi mở máy, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
| Mode | ↓ | 1 | 1 |
Sau đó chọn một trong bốn dạng bất phương trình bậc hai rồi nhập các hệ số $a, b, c$, từ đó nhận được nghiệm.
Ví dụ: Để giải bất phương trình $2x^2 - 3x - 6 \le 0$ ta bấm tổ hợp phím:
| Mode | ↓ | 1 | 1 | 4 | 2 | = | -3 | = | -6 | = | = |
Màn hình máy tính hiển thị: $\dfrac{3 - \sqrt{57}}{4} \le x \le \dfrac{3 + \sqrt{57}}{4}$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $\left[\dfrac{3 - \sqrt{57}}{4}; \dfrac{3 + \sqrt{57}}{4}\right]$.
