Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Hàm số liên tục (Toán 11 KNTT)
Khái niệm hàm số liên tục tại điểm, liên tục trên khoảng/đoạn, các định lý cơ bản và ứng dụng định lý Bolzano chứng minh phương trình có nghiệm chuẩn SGK Toán 11.
BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Khám phá tính chất nền tảng của Giải tích: Nắm vững khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn; tính liên tục của các hàm số sơ cấp trên tập xác định; và ứng dụng mạnh mẽ của Định lí giá trị trung gian để chứng minh phương trình có nghiệm.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Vận tốc tức thời của chuyến xe
Một người lái xe từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$ trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ $A$ đến $B$ dài $180\text{ km}$. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình xe chạy với vận tốc đúng bằng $60\text{ km/h}$.
Giải thích bản chất toán học: Vận tốc trung bình của xe là $v_{tb} = \frac{s}{t} = \frac{180}{3} = 60\text{ km/h}$. Vì vận tốc thực tế $v(t)$ thay đổi liên tục theo thời gian $t \in [0; 3]$, nên theo Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục, xe không thể "nhảy cóc" vận tốc mà bắt buộc phải đi qua mọi giá trị từ nhỏ hơn 60 đến lớn hơn 60, tức phải có thời điểm $t_0$ xe đạt đúng $60\text{ km/h}$!
Vận tốc thay đổi liên tục trên suốt hành trình 180 km
Hàm Số Liên Tục Tại Một Điểm
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu:
Hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm $x_0$.
Đối với các hàm số cho bởi nhiều công thức ghép nhánh, ta dùng giới hạn bên trái và giới hạn bên phải:
Nếu giới hạn trái khác giới hạn phải, hoặc một trong hai không bằng $f(x_0)$, thì hàm số gián đoạn tại $x_0$.
Xét tính liên tục của $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ tại $x_0 = 2$:
• Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, điểm $x_0 = 2$ thuộc TXĐ.
• Ta có $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-1} = \frac{2+1}{2-1} = 3$.
• Giá trị hàm số: $f(2) = 3$.
Vì $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \implies$ Hàm số liên tục tại $x_0 = 2$.
Xét tính liên tục của hàm $s(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$ tại $x_0 = 0$:
• Giới hạn phải: $\lim_{x \to 0^+} s(x) = 1$.
• Giới hạn trái: $\lim_{x \to 0^-} s(x) = -1$.
Vì $\lim_{x \to 0^+} s(x) \ne \lim_{x \to 0^-} s(x) \implies$ Không tồn tại $\lim_{x \to 0} s(x)$. Hàm số gián đoạn tại $0$.
Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng
• Liên tục trên khoảng $(a; b)$:
Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $(a; b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• Liên tục trên đoạn $[a; b]$:
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a; b)$ và thoả mãn hai đầu mút: $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền nét (không bị đứt quãng hay nhảy bậc) trên khoảng đó.
Hình 5.7: Đồ thị $f(x)$ liền nét (liên tục) vs đồ thị $g(x)$ đứt đoạn tại $x = \frac{1}{2}$ (gián đoạn)
- Hàm đa thức: $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
- Hàm lượng giác cơ bản: $y = \sin x, y = \cos x$ liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
- Hàm phân thức hữu tỉ, căn thức, lượng giác khác: $y = \frac{P(x)}{Q(x)}, y = \sqrt{x}, y = \tan x, y = \cot x$ liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Một Số Tính Chất Cơ Bản & Định Lí Nghiệm
Giả sử hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
Định Lí Giá Trị Trung Gian (Sự Tồn Tại Nghiệm Của Phương Trình)
💡 Ý nghĩa hình học: Vì $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu nên hai điểm $A(a; f(a))$ và $B(b; f(b))$ nằm ở hai phía đối diện của trục hoành $Ox$. Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét nối $A$ và $B$ nên bắt buộc phải cắt trục hoành tại ít nhất một điểm $c$!
Hình 5.8: Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $c \in (a; b)$
Chứng minh rằng phương trình $x^5 + x^3 - 10 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0; 2)$:
• Xét hàm số $f(x) = x^5 + x^3 - 10$. Đây là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục trên đoạn $[0; 2]$.
• Ta có: $f(0) = 0^5 + 0^3 - 10 = -10 < 0$.
• Và: $f(2) = 2^5 + 2^3 - 10 = 32 + 8 - 10 = 30 > 0$.
• Suy ra: $f(0) \cdot f(2) = (-10) \cdot 30 = -300 < 0$.
👉 Theo định lí giá trị trung gian, phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm $c \in (0; 2)$.