Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Luỹ thừa với số mũ thực (Toán 11 KNTT)
Khái niệm lũy thừa nguyên, hữu tỉ, thực, căn bậc n và các quy tắc so sánh lũy thừa theo chuẩn SGK Toán 11.
BÀI 18: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Mở rộng khái niệm luỹ thừa từ số mũ nguyên dương sang số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực; nắm vững các tính chất biến đổi, quy tắc so sánh và ứng dụng thực tiễn vào bài toán lãi kép, tăng trưởng dân số.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Công thức Lãi kép định kì
Ứng dụng toán học tài chính trong ngân hàng và đầu tư
Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì: nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được cộng dồn vào vốn của kì kế tiếp (lãi mẹ đẻ lãi con).
Mô hình tích luỹ tài chính tăng trưởng theo cấp số mũ
Luỹ Thừa Với Số Mũ Nguyên
Định nghĩa Luỹ thừa với số mũ nguyên
Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:
- Với $a$ là số thực tuỳ ý: $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ thừa số}}$$
- Với $a$ là số thực khác $0$ ($a \ne 0$): $$a^0 = 1; \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Trong biểu thức $a^m$, ta gọi $a$ là cơ số, $m$ là số mũ.
Biểu thức $0^0$ và $0^{-n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$) là hoàn toàn không có nghĩa!
Chỉ có $0^n = 0$ khi $n$ là số nguyên dương ($n \in \mathbb{N}^*$). Không tồn tại phép chia cho 0 nên $0^{-n} = \frac{1}{0^n}$ không xác định.
Các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên
Với $a \ne 0, b \ne 0$ và $m, n$ là các số nguyên, ta có các đẳng thức chuẩn:
Quy tắc so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số:
Tính giá trị của biểu thức:
$$A = \left(\frac{1}{2}\right)^{-8} \cdot 8^{-2} + (0,2)^{-4} \cdot 25^{-2}$$
Lời giải chi tiết:
Ta có $\left(\frac{1}{2}\right)^{-8} = 2^8$; $8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{(2^3)^2} = \frac{1}{2^6}$.
$(0,2)^{-4} \cdot 25^{-2} = \frac{1}{0,2^4 \cdot (5^2)^2} = \frac{1}{(0,2 \cdot 5)^4} = \frac{1}{1^4} = 1$.
Vậy: $A = 2^8 \cdot \frac{1}{2^6} + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Số liệu dạng kí hiệu khoa học có dạng $x = a \cdot 10^m$ với $1 \le a < 10, m \in \mathbb{Z}$:
Luỹ Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ & Căn Bậc n
Khái niệm Căn bậc $n$ của một số thực
Cho số thực $a$ và số nguyên dương $n$ ($n \ge 2$).
Số $b$ được gọi là một căn bậc $n$ của số $a$ nếu: $$b^n = a$$
Quy tắc xác định căn bậc $n$:
-
Khi $n$ là số lẻ: Mọi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc $n$, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$.
Ví dụ: $\sqrt[3]{-8} = -2$, vì $(-2)^3 = -8$. -
Khi $n$ là số chẵn:
- Số âm không có căn bậc chẵn.
- Số $0$ có đúng một căn bậc $n$ là $0$ ($\sqrt[n]{0} = 0$).
- Mỗi số thực dương $a > 0$ có đúng hai căn bậc $n$ đối nhau: căn số học $\sqrt[n]{a}$ và giá trị âm $-\sqrt[n]{a}$.
Tính chất cơ bản của căn bậc $n$
Định nghĩa Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực dương $a$ ($a > 0$) và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*$.
$$a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
Lưu ý bắt buộc: Điều kiện cơ số $a > 0$ là bắt buộc để đảm bảo phép tính luỹ thừa với số mũ hữu tỉ luôn xác định và duy nhất!
Tính giá trị của các biểu thức:
Rút gọn biểu thức ($x > 0, y > 0$):
$$A = \frac{x^{\frac{3}{2}}y + x y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$
Lời giải:
Ta viết $x^{\frac{3}{2}} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x\sqrt{x}$ và $y^{\frac{3}{2}} = y\sqrt{y}$.
Tử thức: $xy(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.
Do đó: $A = \frac{xy(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = xy$.
Luỹ Thừa Với Số Mũ Thực & Máy Tính Cầm Tay
Khái niệm Luỹ thừa với số mũ thực qua giới hạn
Cho $a$ là số thực dương ($a > 0$) và $\alpha$ là một số vô tỉ.
Xét dãy số hữu tỉ $(r_n)$ mà $\lim_{n \to +\infty} r_n = \alpha$. Khi đó dãy số $(a^{r_n})$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào việc chọn dãy hữu tỉ $(r_n)$.
$$a^\alpha = \lim_{n \to +\infty} a^{r_n}$$
Ví dụ: Với $\sqrt{2} \approx 1,4142135...$, ta có các xấp xỉ liên tiếp $3^1; 3^{1,4}; 3^{1,41}; 3^{1,414}...$ tiến dần tới giá trị $3^{\sqrt{2}}$.
Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:
Với $a > 0, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, toàn bộ các công thức tính chất sau đều được bảo toàn nguyên vẹn:
Không dùng máy tính, hãy so sánh $8^{\sqrt{3}}$ và $4^{2\sqrt{3}}$:
Lời giải: Ta đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số $2$:
• $8^{\sqrt{3}} = (2^3)^{\sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}}$.
• $4^{2\sqrt{3}} = (2^2)^{2\sqrt{3}} = 2^{4\sqrt{3}}$.
Vì cơ số $2 > 1$ và $3\sqrt{3} < 4\sqrt{3}$ nên $2^{3\sqrt{3}} < 2^{4\sqrt{3}}$.
Vậy $8^{\sqrt{3}} < 4^{2\sqrt{3}}$.
Rút gọn biểu thức ($a > 0$):
$$A = \frac{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}}}$$
Lời giải:
Tử thức: $a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = a^{2 - 1} = a^1 = a$.
Mẫu thức: $a^{(\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5})} = a^2$.
Vậy: $A = \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} = a^{-1}$.
📱 Tính luỹ thừa và căn bậc n bằng máy tính cầm tay (Casio fx-580VN X)
| Biểu thức cần tính | Thao tác bấm phím | Màn hình hiển thị | Kết quả làm tròn (4 chữ số thập phân) |
|---|---|---|---|
| $\sqrt[5]{20,15}$ | SHIFT x■ 5 ▶ 20.15 = |
4.488875137 | $\approx 4,4889$ |
| $\sqrt[5]{320}$ | SHIFT x■ 5 ▶ 320 = |
3.169786385 | $\approx 3,1698$ |
| $15^{3,2}$ | 15 x■ 3.2 = |
5800.855256 | $\approx 5\,800,8553$ |