Bài 29: Công thức cộng xác suất
Lý thuyết trọng tâm Bài 29: Công thức cộng xác suất (Toán 11 - Kết nối tri thức). Định nghĩa hai biến cố xung khắc, công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc P(A ∪ B) = P(A) + P(B), công thức cộng xác suất tổng quát P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) và ứng dụng giải các bài toán thực tiễn.
Đặt vấn đề: Bài toán dịch tễ học và sức khỏe cộng đồng
Tại tỉnh X, số liệu thống kê y tế cho thấy trong số những người trên 50 tuổi:
- Có $8{,}2\%$ số người mắc bệnh tim;
- Có $12{,}5\%$ số người mắc bệnh huyết áp;
- Có $5{,}7\%$ số người mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.
Câu hỏi đặt ra:
Từ số liệu trên, ta có thể tính được tỉ lệ người dân trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp hay không?
Quy tắc cộng xác suất trong bài học này sẽ cung cấp công cụ toán học chính xác để giải quyết bài toán trên!
Thống kê Y tế Tỉnh X
Tim: 8.2% Huyết áp: 12.5% Cả hai: 5.7%1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
a) Khái niệm biến cố xung khắc
Hoạt động 1: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố:
- $A$: "Số chấm xuất hiện là số chia hết cho 3" $\implies A = \{3; 6\}$.
- $B$: "Số chấm xuất hiện là số chia hết cho 4" $\implies B = \{4\}$.
Hai biến cố $A$ và $B$ không thể đồng thời xảy ra vì không có mặt nào của xúc xắc vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 ($A \cap B = \emptyset$).
Định nghĩa biến cố xung khắc
Biến cố $A$ và biến cố $B$ được gọi là xung khắc nếu $A$ và $B$ không đồng thời xảy ra.
$$A \text{ và } B \text{ xung khắc} \iff A \cap B = \emptyset$$
Trả lời: Có, vì $A$ và $\overline{A}$ không bao giờ đồng thời xảy ra ($A \cap \overline{A} = \emptyset$).
Ví dụ 1 (SGK trang 72): Xét tính xung khắc khi gieo hai con xúc xắc
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố:
$A$: "Tổng số chấm $\ge 7$"; $B$: "Tổng số chấm $\le 4$"; $C$: "Tổng số chấm là số nguyên tố".
- Cặp $A$ và $B$: Xung khắc, vì một tổng không thể vừa $\ge 7$ vừa $\le 4$ ($A \cap B = \emptyset$).
- Cặp $A$ và $C$: Không xung khắc, vì nếu tổng số chấm bằng $7$ hoặc $11$ (số nguyên tố $\ge 7$) thì cả $A$ và $C$ đều xảy ra.
- Cặp $B$ và $C$: Không xung khắc, vì nếu tổng số chấm bằng $2$ hoặc $3$ (số nguyên tố $\le 4$) thì cả $B$ và $C$ đều xảy ra.
Luyện tập 1 (SGK trang 73): Khảo sát sở thích thể thao
Một tổ học sinh có 8 bạn: 6 bạn thích Bóng đá ($E$), 4 bạn thích Cầu lông ($F$) và 2 bạn thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Hai biến cố $E$ và $F$ có xung khắc không?
Vì có 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông nên nếu chọn trúng 1 trong 2 bạn này thì cả $E$ và $F$ đồng thời xảy ra ($E \cap F \ne \emptyset$). Do đó, $E$ và $F$ không xung khắc.
b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
Quy tắc cộng cho hai biến cố xung khắc
Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc ($A \cap B = \emptyset$) thì:
Mở rộng: Nếu $A_1, A_2, \dots, A_k$ đôi một xung khắc thì $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)$.
Ví dụ 2 (SGK trang 73): Rút 2 thẻ từ 9 thẻ
Một hộp đựng $9$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $9$. Rút ngẫu nhiên đồng thời $2$ tấm thẻ. Xét các biến cố:
$A$: "Cả hai thẻ đều ghi số chẵn"; $B$: "Chỉ có một thẻ ghi số chẵn"; $C$: "Tích hai số ghi trên thẻ là số chẵn".
• Tích hai số là số chẵn khi có ít nhất một thẻ chẵn (hoặc cả 2 chẵn hoặc đúng 1 chẵn) $\implies C = A \cup B$.
• Vì một lần rút không thể vừa có cả 2 thẻ chẵn vừa chỉ có đúng 1 thẻ chẵn nên $A$ và $B$ xung khắc. Do đó: $$P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$
• Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_9^2 = 36$.
• Có 4 số chẵn $\{2; 4; 6; 8\}$ và 5 số lẻ $\{1; 3; 5; 7; 9\}$.
$\implies n(A) = C_4^2 = 6 \implies P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$\implies n(B) = C_4^1 \cdot C_5^1 = 4 \cdot 5 = 20 \implies P(B) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.
• Vậy: $$P(C) = P(A) + P(B) = \frac{6}{36} + \frac{20}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}.$$
Luyện tập 2 (SGK trang 74): Rút hai quả cầu cùng màu
Một hộp đựng $5$ quả cầu màu xanh và $3$ quả cầu màu đỏ (cùng kích thước). Chọn ngẫu nhiên $2$ quả cầu. Tính xác suất chọn được hai quả cầu cùng màu.
• Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{5+3}^2 = C_8^2 = 28$.
• Gọi $A$: "Chọn được 2 cầu xanh" $\implies n(A) = C_5^2 = 10 \implies P(A) = \frac{10}{28}$.
• Gọi $B$: "Chọn được 2 cầu đỏ" $\implies n(B) = C_3^2 = 3 \implies P(B) = \frac{3}{28}$.
• Vì không thể vừa chọn 2 quả xanh vừa chọn 2 quả đỏ nên $A$ và $B$ xung khắc:
$$P(\text{cùng màu}) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{10}{28} + \frac{3}{28} = \frac{13}{28}.$$
2. Công thức cộng xác suất tổng quát
Hoạt động 3: Học sinh khá Văn và khá Toán
Ở một trường THPT X: có $19\%$ học sinh khá môn Ngữ văn ($A$), $32\%$ học sinh khá môn Toán ($B$), $7\%$ học sinh khá cả hai môn ($AB$). Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh.
• $P(A) = 0{,}19$, $P(B) = 0{,}32$, $P(AB) = 0{,}07$.
Tại sao không thể cộng trực tiếp $P(A) + P(B)$?
Vì trong tổng $P(A) + P(B)$, nhóm $7\%$ học sinh khá cả hai môn đã bị tính lặp lại hai lần! Do đó ta phải trừ bớt đi phần giao $P(AB)$.
Định lý: Công thức cộng xác suất tổng quát
Cho hai biến cố bất kì $A$ và $B$. Khi đó:
Ví dụ 3 (SGK trang 74): Tính tỉ lệ khá Văn hoặc khá Toán
Trở lại trường THPT X trong HĐ3. Tính tỉ lệ học sinh khá môn Ngữ văn hoặc khá môn Toán của trường X.
Theo công thức cộng xác suất: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}19 + 0{,}32 - 0{,}07 = 0{,}44.$$
Vậy tỉ lệ học sinh khá môn Ngữ văn hoặc khá môn Toán của trường X là $44\%$.
Luyện tập 3 (SGK trang 75): Khảo sát 30 bạn lớp 11A
Phỏng vấn 30 học sinh: 19 bạn thích Bóng đá ($A$), 17 bạn thích Bóng bàn ($B$) và 15 bạn thích cả hai môn ($AB$). Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Tính xác suất chọn được bạn thích ít nhất một trong hai môn.
Ta có: $P(A) = \frac{19}{30}$, $P(B) = \frac{17}{30}$, $P(AB) = \frac{15}{30}$.
Xác suất bạn đó thích ít nhất một trong hai môn là: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{19}{30} + \frac{17}{30} - \frac{15}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0{,}7.$$
Vận dụng: Giải quyết bài toán dịch tễ học tỉnh X mở đầu
Chọn ngẫu nhiên một người trên 50 tuổi tại tỉnh X. Gọi $A$: "Người đó mắc bệnh tim", $B$: "Người đó mắc bệnh huyết áp".
• Đề bài cho: $P(A) = 8{,}2\% = 0{,}082$; $P(B) = 12{,}5\% = 0{,}125$; $P(AB) = 5{,}7\% = 0{,}057$.
• Xác suất người đó mắc ít nhất một trong hai bệnh (bệnh tim hoặc bệnh huyết áp) là: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}082 + 0{,}125 - 0{,}057 = 0{,}15 = 15\%.$$
• Biến cố $E$: "Không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp" chính là biến cố đối của $A \cup B$. Do đó:
$$P(E) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}15 = 0{,}85 = 85\%.$$
Vậy tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và huyết áp là $85\%$.