Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Toán 11 KNTT)
Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng đứng để có thể vững chãi, chịu lực tốt nhất. Mặc dù vậy, cũng có những công trình có phương nghiêng đặc biệt nổi tiếng thế giới.
Nếu đứng tại Quảng trường màu nhiệm (Square of Miracles) ở Pisa, Toscana, Italy (Hình 7.9), bằng mắt thường ta có thể cảm nhận rõ ràng tháp chuông ngoài cùng bên phải (Tháp nghiêng Pisa) là nghiêng, trong khi các công trình còn lại đều có phương thẳng đứng.
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Hoạt động 1 (HĐ1): Quan sát mép cửa và sàn nhà
Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng - mở cánh cửa quanh trục bản lề $AB$, ta coi mép dưới $BC$ của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).
- a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà.
Trả lời: Khi cửa quay, mép dưới $BC$ luôn nằm trên sàn nhà và luôn tạo với trục bản lề $AB$ một góc $90^\circ$. Vì $BC$ có thể quét qua mọi vị trí trên sàn qua $B$, nên $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà. - b) Giải thích vì sao đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.
Trả lời: Với một đường thẳng $d$ bất kì trên sàn nhà, ta luôn dựng được đường thẳng $d' \parallel d$ đi qua $B$. Vì $AB \perp d'$ nên theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, $AB \perp d$.
Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng $\Delta$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Trả lời: Có. Đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ cắt nhau tại đúng một điểm duy nhất, điểm đó gọi là giao điểm hoặc chân đường vuông góc hạ từ một điểm trên $\Delta$ xuống $(P)$.
HĐ2 (Gấp tấm bìa chữ nhật): Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.
- Nếp gấp $AB$ vuông góc với hai mép đáy $AN$ và $AD$ nằm trên mặt bàn.
- Dùng êke kiểm tra, đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ tuỳ ý qua $A$ trên mặt bàn.
Định lí (Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và cạnh $SA$ vuông góc với các cạnh $AB, AC$ (Hình 7.13).
Chứng minh rằng: $BC \perp (SAB)$.
Hướng dẫn giải:
- Vì $SA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $AC$ thuộc $(ABC)$ nên $SA \perp (ABC)$.
- Do $BC \subset (ABC)$ nên suy ra $SA \perp BC$, hay $BC \perp SA$.
- Mặt khác, theo giả thiết tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC \perp AB$.
- Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ ($SA \cap AB = \{A\}$).
Vậy $BC \perp (SAB)$ (đpcm).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $SA = SC$ và $SB = SD$ (Hình 7.14).
Chứng minh rằng: $SO \perp (ABCD)$.
- Tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA = SC$) có $SO$ là trung tuyến $\implies SO \perp AC$.
- Tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB = SD$) có $SO$ là trung tuyến $\implies SO \perp BD$.
Trong $(ABCD)$, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Vì $SO$ vuông góc với cả $AC$ và $BD$ nên $SO \perp (ABCD)$.
Để cột treo đứng thẳng vững chãi, người ta làm hai thanh đế đặt bắt chéo nhau trên sàn và dựng cột vuông góc với cả hai thanh đế đó.
Giải thích: Vì hai thanh đế cắt nhau trên sàn nhà và cột vuông góc với cả hai thanh đế nên theo định lí, cột vuông góc với mặt sàn.
2. Tính chất
Tính chất 1 (Mặt phẳng qua điểm vuông góc đường thẳng)
Nhận xét (Hình 7.17):
Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt $a, b, c$ cùng đi qua một điểm $O$ và cùng vuông góc với một đường thẳng $\Delta$ thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.
Tính chất tập hợp điểm (Ví dụ 2):
Điểm $M$ cách đều hai điểm phân biệt $A, B$ ($MA = MB$) khi và chỉ khi $M$ thuộc mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ (Hình 7.18).
Tính chất 2 (Đường thẳng qua điểm vuông góc mặt phẳng)
Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $AB \perp (P)$ và $AC \perp (P)$. Do chỉ có duy nhất một đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(P)$ nên $AB$ và $AC$ phải trùng nhau. Suy ra ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.
Cho điểm $A \notin (P)$. Duy nhất một điểm $H \in (P)$ sao cho $AH \perp (P)$. Điểm $H$ chính là giao điểm của đường thẳng vuông góc qua $A$ với mặt phẳng $(P)$, gọi là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$.
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
- Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì các đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$: $$\begin{cases} a \perp (P) \\ b \parallel a \end{cases} \implies b \perp (P)$$
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau: $$\begin{cases} a \perp (P) \\ b \perp (P) \\ a \ne b \end{cases} \implies a \parallel b$$
Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M, N$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác $ABC, OBC$ (Hình 7.22). Chứng minh rằng $MN \perp (OBC)$.
Giải: Kẻ trung tuyến $AD, OD$. Vì $M, N$ là trọng tâm nên $\frac{MD}{AD} = \frac{ND}{OD} = \frac{1}{3} \implies MN \parallel AO$. Vì $AO \perp OB$ và $AO \perp OC \implies AO \perp (OBC)$. Do $MN \parallel AO$ nên $MN \perp (OBC)$.
- Nếu đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì $\Delta$ cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với $(P)$: $$\begin{cases} \Delta \perp (P) \\ (Q) \parallel (P) \end{cases} \implies \Delta \perp (Q)$$
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau: $$\begin{cases} (P) \perp \Delta \\ (Q) \perp \Delta \\ (P) \ne (Q) \end{cases} \implies (P) \parallel (Q)$$
Cho hình chóp $S.ABC$. Các điểm $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC$. Đường thẳng qua $S$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ cắt mặt phẳng đó tại $H$ (Hình 7.25). Chứng minh $SH \perp (MNP)$.
Giải: Do $MN \parallel AB$ và $MP \parallel AC$ nên $(MNP) \parallel (ABC)$. Mặt khác $SH \perp (ABC)$, suy ra $SH \perp (MNP)$.
- Nếu đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng song song với $(P)$.
- Nếu đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ cùng vuông góc với một đường thẳng $\Delta$ thì $a$ nằm trong $(P)$ hoặc $a$ song song với $(P)$: $$\begin{cases} a \perp \Delta \\ (P) \perp \Delta \end{cases} \implies a \subset (P) \text{ hoặc } a \parallel (P)$$
Ví dụ 6 (Trang 36 SGK):
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $SB, BC$ (Hình 7.26). Chứng minh rằng $BD \perp MN$.
Giải: Do $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BD$. Đáy là hình vuông nên $AC \perp BD$. Suy ra $BD \perp (SAC)$. Mặt khác $MN \parallel SC \subset (SAC)$ nên $MN \parallel (SAC)$. Vì $BD \perp (SAC)$ nên $BD \perp MN$.
4. Ứng dụng thực tiễn & Chuyên mục "Em có biết?" (Trang 37 SGK)
Phương thẳng đứng (Hình 7.28)
Phương thẳng đứng là phương đi qua tâm Trái Đất. Dây dọi chịu trọng lực hướng về tâm Trái Đất nên đường thẳng chứa dây dọi có phương thẳng đứng. Thợ xây dùng dây dọi để đảm bảo bức tường thẳng đứng và vững chãi.
Mặt phẳng nằm ngang (Hình 7.29)
Mặt phẳng nằm ngang tại một điểm là mặt phẳng vuông góc với phương thẳng đứng tại điểm đó. Mặt nước yên lặng là mặt phẳng nằm ngang. Thợ xây dùng ống nhựa mềm chứa nước (bình thông nhau) để xác định hai điểm cùng cao độ ngang.
Ruộng bậc thang (Hình 7.30)
Dù nằm trên sườn dốc đồi núi quanh co, mỗi bậc của ruộng bậc thang đều được người dân san phẳng theo các mặt phẳng nằm ngang nhằm giữ nước tưới cho cây lúa phát triển.
Cột đèn trên dốc (Hình 7.31)
Các cây cột đèn chiếu sáng trên đường cầu dốc luôn được dựng theo phương thẳng đứng. Do đó, cột đèn không vuông góc với mặt dốc (vì mặt dốc không nằm ngang).
Ghi nhớ then chốt của Bài 23:
✔ Hệ quả: Khi $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
✔ Song song và vuông góc: Hai đường cùng vuông góc một mp thì song song; Hai mp cùng vuông góc một đường thì song song.